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premier volume de Principia matkematica. Le point de départ est la logique des propositions (dans l’ouvrage de M. B. Russell: la théorie de la déduction). La proposition et non plus le concept est prise comme objet primordial du calcul logique. En effet, la logique porte sur ces ueux qualités fondamentales le vrai et le faux, et celles-ci n’ont de sens que rapportées à un jugement ou à une proposition. La relation fondamentale qui peut subsister entre deux propositions est l’implication. A implique B », signitie « ou A est faux, ou B est vrai »; ce qui s’exprime encore il est faux que A soit vrai et B faux ». Ces énoncés renferment ces termes. « et », « nu qui recouvrent les opérations connues le produit logique, et lasomme logique, l’affirmation simultanée ou alternative (te deux propositions. Ces notions élémentaires sont donc présentées solidairement. t.
A partir de ces concepts fondamentaux, on retrouve les constantes usuelles de l’Algèbre de la Logique, le 0 et le 1, qui représentent le faux et le vrai. Puis viennent la théorie de la négation, le principe du syllogisme, la loi de la déduction etles diverses lois qui expriment algébriquement les règles du raisonnement.
2" Mais il est possible de pénétrer plus profondément dans la structure intime de ta proposition, pour en mieux faire apparaître les propriétés logiques essentielles. Supposons en effet qu’un membre d’une proposition devienne indéterminé et puisse être représenté par une variable. La fonction logique ainsi obtenue s’appelle fonction propositionnelle (Russell); elle n’est ni vraie ni fausse, n’étant pas une proposition, mais seulement une forme générale, qui peut donner autant de propositions qu’il existe de valeurs pour la variable. Il existe cependant des fonctions propositionnelles qui sont toujours vraies; ce sont celles qui expriment les lois logiques précédentes, lesquelles sont vraies pour toutes valeurs des termes qui y figurent de même, il en est qui sont toujours fausses. Ces vérités et faussetés sont dites formelles. puisqu’elles sont indépendantes du contenu des propositions. Toutes les vérités mathématiques sont des implications formelles de ce genre.
La théorie des fonctions propositionnelles a mené M. B. Russell à la hiérarchie des types de fonctions et propositions. Chaque fonction est en effet caractérisée par le genre de variables qu’elle contient; elle rentre à ce titre dans un certain type d’ordre, dont il convient de tenir compte dans le calcul, si l’on ne veut commettre des sophismes analogues à l’Épiménide. Il est intéressant de remarquer que lecalcul des probabilités est une application de la théorie des fonctions propositionnelles. La probabilité est en effet une propriété de la fonction propositionnelle; elle représente son coefficient de vérité, c’est-à-dire la proportion des cas où elle est vraie. Ce coefficient est égal à 1 lorsque la proposition est toujours vraie, à 0 lorsqu’elle est toujours fausse. L’analogie du calcul logique et du calcul des probabilités apparaît encore plus clairement si l’on se rappelle quelle exacte correspondance subsiste entre l’addition et la multiplication logique et l’addition et la multiplication arithmétique.
° La logique des concepts peut maintenant se déduire de ce qui précède. Un concept est, en effet, une fonction propositionnelle à une variable. Si, dans la
proposition « Paul n’a qu’un œil », nous remplaçons Paul par œ, nous obtenons une fonction propositionnelle, et les différentes valeurs de la variable pour lesquelles elle est vraie forment l’extension, la classe définie par la fonction. Ainsi le calcul des classes se relie au calcul des fonctions propositionnelles et s’en déduit aisément. L’axiome de réductibilité (Russell) garantit qu’à toute fonction propositionnelle de type quelconque correspond
une classe, qui représente son extension. En particulier, on se rend compte de la portée logique des jugements généraux, qui correspondent à une fonction aftirmée (ou niée) pour toute valeur de la variable. Les jugements particuliers sont t la négation de ceux-ci, et la vieille question de leur portée existentielle est facilement résolue par là. Les règles de la syllogistique se laissent ramener, du point de vue qui vient d’être fixé, à un traitement systématique, qui se résume dans une seule formule présentée pour la première fois par Mrs Ladd-Franklin. 4" Si la logique (les concepts correspond à la théorie des fonctions d’une variable, la logique des relations correspond à la théorie des fonctions de deux (ou plusieurs) variables. Schrôder avait déjà essayé de présenter un calcul des relations, fondé sur la considération de leurs extensions. C’est à Frege et Russell que l’on doit l’idée de cette assimilation entre les fonctions yx et xRy, qui ne diffèrent que par le nombre des variables et fournissent ainsi deux branches d’un seul et même calcul fondamental. Parmi les procédés dont rend compte le calcul des relations, il convient de citer le principe d’abstraction, si fréquemment utilisé en Physique et en Mathématique, et que le pragmatisme a voulu considérer comme une
