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dues. En ce qui concerne les équations
différentielles, Cauchy, pour établir son
théorème fondamental concernant l’équation
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3af2832fa9a7a6d3341f54e86414f20b774e9ee)
où le second membre est holomorphe au voisinage des valeurs initiales
![{\displaystyle x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf)
,
![{\displaystyle y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d943dbbb0b56ca750c4d62c5b54b4ae29a773da)
, s’était placé un point de vue purement
local. On aborda bientôt l’étude des cas où le théorème de Cauchy tombe en défaut, comme dans le cas où le second membre de l’équation se présente sous
une forme indéterminée (Briot et Bouquet). Mais c’est M. Painlevé qui le premier abandonna le point de vue local de Cauchy. « On sait, dit-il, étudier les intégrales d’une équation d’ordre quelconque au voisinage de la valeur initiale
![{\displaystyle x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf)
. Mais lorsque
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
s’éloigne de
![{\displaystyle x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf)
pour varier d’une façon quelconque dans son plan, comment se comporte la solution ? »
Rappelons brièvement les résultats obtenus
par M. Painlevé dans le cas de l’équation
(2)
où P et Q sont les polynômes en
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
. « Les points singuliers transcendants des intégrales de cette dernière équation sont les mêmes pour toutes ces intégrales (indépendants de la valeur initiale
![{\displaystyle y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d943dbbb0b56ca750c4d62c5b54b4ae29a773da)
de l’une des intégrales). » La situation de ces points
singuliers fixes dépend des coefficients des puissances de
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
dans
![{\displaystyle {\frac {P(x,y)}{Q(x,y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c34cbbf14b0c919b5da2559fba9c91a5ff89e13)
. M. Painlevé montre ensuite que les intégrales de l’équation de Riccati
![{\displaystyle ({\frac {dy}{dx}}=A_{0}+A_{1}y+A_{2}y^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdee4a53dbceac055655db904503dae4cdd221b3)
sont les seules qui ne présentent pas d’autres points singuliers que les points fixes. L’équation de Riccati est aussi la seule dont les intégrales sont des fonctions uniformes de
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
. M. Painlevé établit encore que, si les intégrales d’une équation (2) sont des fonctions à un
nombre fini de branches, l’équation (2) se ramènera à une équation de Riccati par un changement de variable rationnel.
M. Boutroux se propose d’étudier le cas
beaucoup plus général où les intégrales
de l’équation différentielle présenteront
une infinité de branches et une infinité de
points singuliers. « Nous ne saurons donc
pas, d’ordinaire, former une expression
analytique qui représente ces fonctions
pour toutes les valeurs de la variable…
Nous nous demanderons quel est le mode
de croissance, l’allure d’une branche d’intégrale
lorsque
s’approche d’un point
singulier transcendant… D’une manière
générale, nous examinerons le mécanisme
des permutations qui échangent entre
elles les diverses branches d’intégrales. »
Étude d’une branche d’intégrale isolée au voisinage d’un point singulier transcendant.
L’auteur borne son étude à l’examen
de l’équation
(3)
où M et N sont des polynomes par rapport à
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
et par rapport à
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
. Il suppose le point singulier transcendant renvoyé à l’infini. Il cherche donc « à étudier l’allure des branches d’intégrales de l’équation (3), lorsque le module de
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
augmente indéfiniment ». Voici sommairement
résumés les principaux résultats qu’il obtient. Soient
![{\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
et
![{\displaystyle g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
les degrés des polynomes
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
et
![{\displaystyle N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
. L’auteur distingue deux cas, selon que
![{\displaystyle p-q=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63df888cb88b28d19f86defeb3d62937ef2d662a)
, ou
![{\displaystyle p-q\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2938b23bab3a72d3465466d83a2a81c4215f4449)
. « Le premier cas se divise en deux sous-cas selon que le degré du coefficient du terme
![{\displaystyle y^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598e23d8ca335a23bb81401d564bc34d92208828)
de
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
est
supérieur ou égal ou bien
inférieur au coefficient du terme
![{\displaystyle y^{p-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fda77c4a27f5aa6d16d283fa2ad62e999fab9cf)
de
![{\displaystyle N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
. Dans la première alternative les branches d’intégrale de l’équation considérée se comportent comme des exponentielles. Leur croissance est dite
du type exponentiel. Mais si le degré du coefficient du terme
![{\displaystyle y^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598e23d8ca335a23bb81401d564bc34d92208828)
de
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
est inférieur à celui du terme
![{\displaystyle y^{p-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fda77c4a27f5aa6d16d283fa2ad62e999fab9cf)
de N, on ne peut donner la solution générale ; on trouvera une solution analogue à celle du cas précédent quand certaines conditions seront vérifiées.
Cas où
. En nous en tenant
au résultat final, indiquons qu’on démontre
qu’une branche d’intégrale de
l’équation considérée croit moins vite
qu’une puissance finie de
. On convient
de dire alors que la croissance des intégrales
est du type rationnel. Remarquons
avec M. Boutroux que ce dernier résultat
est très général, car il donne seulement
une limite supérieure du module de la
branche d’intégrale. Pour obtenir des
résultats plus précis l’auteur examine des
exemples particuliers.
Dans le second chapitre de son ouvrage,
M. Boutroux cherche à définir et à classer
les points singuliers transcendants, et il
étudie le mécanisme de l’échange des
branches d’intégrales autour de ces points.
Nous ne pourrions, sans entrer dans des
considérations trop techniques, exposer
la classification des points singuliers
transcendants en points de 1re et de
2e espèce développée par M. Boutroux.
Signalons aux lecteurs philosophes que
dans l’examen du mécanisme de l’échange
des branches d’intégrale, on étudie principalement
certains ordres de successions dans les permutations,
ce sont ces ordres
de succession qui caractérisent les inté-