voir[1] un rôle fondamental dans la structure de la géométrie : « Deux grandeurs sont dites comporter une relation lorsque, étant multipliées, elles peuvent se dépasser l’une l’autre. Λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα μεγἑθη, ἃ δύναται πολλαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερἐχειν[2].
La subtilité logique des Grecs semble ainsi avoir triomphé des obstacles que leur rigueur logique avait suscités. Grâce à une ruse tactique le sens et la portée de l’argument ont été comme retournés. Pour recomposer un mouvement total, il fallait posséder un élément initial, et la dichotomie montrait l’impossibilité de fixer cet élément initial. Au contraire, que l’on ait devant soi une différence entre deux grandeurs données, que l’on enlève à cette différence sa majeure partie, puis au reste sa majeure partie, suivant un rythme visiblement imité du procédé de la dichotomie, la répétition illimitée de l’opération permettra d’approcher autant que l’on voudra d’une solution exacte du problème. La même démarche de pulvérisation intellectuelle, qui avait créé un abîme entre l’intuition du mouvement total et l’intuition des parties de l’étendue, apporte une justification logique à la série des théorèmes qui concernent les surfaces circulaires ou les corps ronds.
Mais il faut comprendre de quel prix la victoire devait être achetée. Le détour par lequel les créateurs de la méthode d’exhaustion, Antiphon et Eudoxe, avaient réussi à adapter la dialectique discursive de Zénon à l’exposition des découvertes qui étaient nées du développement direct de la science mathématique, détourne l’attention du progrès intérieur de l’esprit pour la porter sur la forme externe de l’exposition. L’inconvénient n’était pas seulement de superposer au problème résolu par l’intelligence un second problème qui ne concernait que le discours ; il était encore, sinon pour les maîtres eux-mêmes, du moins pour les disciples qui s’initiaient à la recherche par l’étude de leurs œuvres, de subordonner nettement l’intelligence au discours.
De là les deux aspects sous lesquels il convient d’envisager la pensée d’Archimède. Nul, certes, ne porte plus haut la puissance de l’abstraction intellectuelle. Archimède ramène les problèmes de quadrature ou de cubature à la détermination d’une aire ou d’un volume compris entre deux sommations de surfaces ou de volumes
