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REVUE DE MÉTAPHYSIQUE ET DE MORALE.

pensée directrice d’Archimède. Viète se borne a une suggestion, profonde dans sa concision, mais qui demeure perdue pour les contemporains. Au chapitre XVIII du recueil Variorum de rebus mathematicis responsorum, intitulé : Polygonorum circulo ordinate inscriptorum ratio (Tours, 1593, f° 29), Viète, sans prétendre dissiper les difficultés philosophiques de la quadrature du cercle, étend nettement aux rapports d’ordre irrationnel la considération de l’infini qu’Archimède avait appliquée dans l’ordre rationnel à la quadrature de la parabole. Nous ne retiendrons ici que le résultat auquel il arrive, et qui consiste donner l’expression de ${\frac {\pi }{2}}$ par le produit infini

$\cos {\frac {90}{2}}.\cos {\frac {90}{4}}\cos {\frac {90}{8}}.\ldots$

c’est-à-dire

${\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {\frac {1}{2}}}\right)}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {\frac {1}{2}}}\right)}}\right.}}$^[1]$.\ldots$

Kepler, dans la Nova stereometria doliorum vinariorum, ne se propose qu’un problème de géométrie pratique : déterminer la forme des tonneaux qui ont pour une même ligne de jauge la capacité maxima. Pour la solution de ce problème il reprend la géométrie des corps ronds ; mais il ajoute aux solides connus des anciens une série de corps nouveaux, qui sont engendré, par la révolution d’une section conique autour d’une ligne quelconque relative a la courbe, et qu’il désigne par les expressions familières de pommes de citrons, etc. La caractéristique de cet ouvrage, c’est l’usage de la méthode directe ; délibérément Kepler la substitue à la méthode d’Archimède, qui est à ses yeux une méthode de réduction à l’absurde. Dès le début il voit dans le cercle une infinité de triangles qui ont chacun pour base un point de cette circonférence Circuli B G circumferentia partes habet totidem, quot puncta, puta infinitas ; la quadrature du cercle consistera donc à déterminer la surface du triangle total qui a pour base le nombre infini des points de la circonférence. C’est de là qu’il s’élèvera par intuition à la solution approximative de problèmes de plus en plus compliqués, indiquant au passage, sans démonstration, quelques-uns des principes les plus féconds de la mathématique infinitésimale en particulier cette

1. Zeuthen, Geschichteder Mathematik im XVI und XVII Jahrhundert, 1903, p. 121.