Si un objet possède deux propriétés et , et s’il est seul a posséder la propriété , cette propriété pourra servir de définition, mais comme elle suffira pour le définir, la propriété ne sera plus une définition elle sera un axiome ou un théorème.
Si au contraire l’objet n’est pas seul à posséder la propriété , mais s’il est seul à posséder les deux propriétés et , la propriété n’est plus suffisante pour le, définir, et la propriété sera un complément de définition, ce ne sera plus un axiome ou un théorème.
En un mot, pour qu’une propriété soit un axiome ou un théorème, il faut que l’objet qui possède cette propriété ait été complètement défini indépendamment de cette propriété.
Ainsi, pour avoir le droit de dire que les soi-disant axiomes relatifs à la distance ne sont pas une définition déguisée de cette distance, il faudrait définir la distance autrement que par ces axiomes. Mais cette définition, où est-elle ?
Sera-ce une définition mathématique proprement dite ? Sous ce rapport je suis tranquille, il n’y en a pas et on n’en trouvera pas. Définira-t-on la distance par la voie de l’expérience ? J’ai montré plus haut à quel point l’empirisme, en pareille matière, est dépourvu de sens.
Il ne reste qu’une ressource. C’est de dire qu’on n’a pas besoin de définition parce que ces choses sont directement connues par l’intuition. À ceux qui pensent avoir l’intuition directe de l’égalité de deux distances ou de celle de deux durées, il m’est difficile de répondre ; nous parlons des langues trop différentes. Je ne puis que les envier et les admirer sans les comprendre, parce que cette intuition me manque absolument.
Je pourrais peut-être me hasarder à leur dire, malgré ma crainte de commettre un solécisme dans cette langue que je ne comprends pas : « Vous dites que vous avez l’intuition de la distance ; vous avez sans doute aussi, au moins en puissance, l’intuition de toutes les autres grandeurs que l’on peut envisager en géométrie ; ne vous faut-il pas encore une définition pour nous faire savoir quelle est, parmi toutes les choses que l’intuition vous révèle, celle que vous appellerez distance ? »
Au reste ce ne paraît pas être la pensée de M. Russell ; car s’il avait l’intuition directe de la distance euclidienne, il ne parlerait pas de recourir à l’expérience pour vérifier le postulatum d’Euclide.
