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H. POINCARÉ. — DES FONDEMENTS DE LA GÉOMÉTRIE.

Deux figures ne doivent pas pouvoir être égales, au sens de la géométrie métrique, sans être « qualitativement équivalentes » au sens de la géométrie projective. Une ligne égale à une droite doit être une droite au sens de la géométrie projective. En d’autres termes, le groupe métrique doit être contenu dans le groupe projectif. Je vois bien que cette hypothèse est la plus commode et la plus naturelle ; je ne vois pas qu’elle soit nécessaire.

§ 8.

« Nous avons déjà vu, dit M. Russell (p, 164, § 162), en étudiant la géométrie projective, que deux points déterminent nécessairement une courbe unique, la ligne droite. Dans la géométrie métrique, l’axiome correspondant est que deux points déterminent nécessairement une grandeur spatiale, la distance^[1]. »

Pourquoi ces deux axiomes sont-ils correspondants ? C’est, je suppose, parce que l’un et l’autre peuvent se déduire de cette même assertion entre deux points il doit y avoir une relation. Mais qu’on ne soit pas dupe de cette similitude superficielle. Dans les deux cas cette même assertion a deux sens bien différents.

Quand le géomètre métrique dit « deux points doivent avoir une relation, leur distance », il veut dire que cette relation reste la même pour ces deux points et pour deux points congruents ; et, d’autre part, qu’elle permet de distinguer un couple de points d’un autre couple de points dont la distance n’est pas la même. De sorte que la condition nécessaire et suffisante pour que deux couples de points $AB$ et $CD$ soient congruents, c’est que la relation de $A$ à $B$ soit la même que celle de $C$ à $D$.

Quand le géomètre projectif dit « deux points doivent avoir une relation, la ligne droite qui les joint », cela a-t-il un sens analogue ? Cela veut-il dire que cette relation reste la même pour un couple de points, et pour un couple de points qualitativement équivalents ? Non, tous les couples de points sont qualitativement équivalents, et ils ne sont pas tous sur une même droite. Cela veut-il dire que cette relation permet de distinguer un couple de points d’un autre couple ? Non, toutes les droites sont indiscernables au point de vue projectif.

1. « We have already seen, in discussing projective Geometry, that two points must determine a unique curve, the straight line. In metrical Geometry, the corresponding axiom is that two points must determine a unique spatial quantity, distance. »