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REVUE DE MÉTAPHYSIQUE ET DE MORALE.

Pour bien faire comprendre qu’il n’y a pas là une simple tautologie, je prendrai deux exemples simples. Soit d’abord une droite $AX$, limitée au point $A$ dans un sens et indéfinie dans l’autre sens ; transportons-la en la faisant glisser sur elle-même, jusqu’à ce que le point $A$ vienne en $B$ ; la droite transportée sera venue ainsi en $BX$. Elle est restée égale à elle-même, puisque le transport s’est fait sans déformation, et pourtant elle n’est plus qu’une partie de ce qu’elle était d’abord, puisque la droite primitive $AX$ se compose de la droite nouvelle $BX$, plus le segment $AB$.

Qu’on ne vienne pas me dire que je n’ai pas le droit d’introduire des figures infinies : c’est justement cela qu’on appelle être infini : c’est être un tout qui est égal à sa partie $(\infty =\infty +1)$. Tout ce que nous devons retenir, c’est qu’il y a des figures auxquelles l’axiome s’applique et d’autres auxquelles il ne s’applique pas. Ces dernières, on les laisse de côté sous prétexte qu’elles sont infinies ; elles ne sont pas susceptibles d’être mesurées.

Comme deuxième exemple, supposons que l’on ait voulu définir l’égalité des figures par des transformations plus générales que celles qui sentent ordinairement à cette définition, et que l’on regarde comme égales deux figures semblables. Alors un triangle pouvant être partagé en quatre triangles semblables dont les dimensions linéaires sont moitié moindres, serait égal à sa partie. Tous les groupes de transformations ne pourraient donc pas être choisis pour définir l’égalité des figures ; si l’on veut que la mesure soit possible, il faut faire ce choix de façon à satisfaire au second axiome arithmétique.

§ 7.

M. Russell remarque ensuite que, pour pouvoir introduire la quantité, il faut un critérium de l’égalité de deux figures ; ce qui oblige à admettre l’axiome de libre mobilité, qu’il énonce ainsi (p. 150, § 144) « Les grandeurs spatiales peuvent être déplacées d’un lieu à l’autre sans distorsion » ; ou bien « Les formes ne dépendent en aucune manière de leur position absolue dans l’espace^[1] ».

Il montre que cet axiome n’est qu’une forme un peu différente du principe de l’homogénéité de l’espace et de la relativité de position.

1. « Spatial magnitudes can be moved from place to place without distortion ;… shapes do not in any way depend upon absolute position in space. »