488 REVUE DE MÉTAPHYSIQUE ET DE MORALE.
le quotient représente 5 sacs ou 5000 haricots ; par contre, le quotient p est dénué de sens, de prime abord, puisque 15 n’est pas divisible par 2o mais, si je remarque que mes unités sont elles-mêmes des pluralités valant chacune 1000, je reconnaîtrai que cette notation prend un sens et représente dans l’espèce 600 haricots. Pouvant faire varier à volonté le nombre des sacs et celui des haricots contenus dans chacun d’eux, je formerai tous les nombres fractionnaires. Mais il est indispensable de voir comment il sera possible de les comparer entre eux, ainsi qu’avec les entiers soient par exemple
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if |f et i. Chacune des premières notations n’a de sens que si nous l’appliquons à un sac contenant un nombre de haricots multiple de
ou de37.Pour rendre la comparaison possible, il faut donc prendre
des sacs en contenant un nombrequi soit à la fois multiple de ces deux nombres, par exemple 25 X 37. Chacun de nos trois nombres correspondra alors à 18 X 37, 24 X 25 et 25 X 37 c’est préeisément le mode de comparaison par réduction au même dénominateur.
Nous n’insisterons pas davantage, car il nous suffit d’avoir montré que la généralisation reposant sur la considération des grandeurs peut s’établir également au moyen d’unités multiples, du moins en ce qui concerne les fractions. Nous verrons plus loin que les notions de la divisibilité infinie et du continu peuvent s’établir également au moyen d’indivisibles. Quant aux nombres qualifiés, nous ferons remarquer que, si les grandeurs en donnent une notion plus satisfaisante que la généralisation algébrique, leur continuité n’entre pour rien dans cette particularité. Restent enfin les imaginaires qui, nées de l’algèbre, ont trouvé dans la géométrie une si heureuse interprétation.
Quant à ce qu’on a appelé la généralisation arithmétique, tout en la défendant contre certaines critiques de M. Couturat, nous la sacrifierions assez volontiers, comme trop artificielle ; à nos yeux, la véritable généralisation arithmétique est celle que nous venons d’esquisser et qui repose sur les unités multiples, c’est-à-dire sur les entiers considérés comme unités synthétiques. G. Leciialas.
(A suivre.)
