G. lechalas. – De Vin fini mathématique, 479 luuuctuuu uc ia ouiic munie, ci u esi» ainsi v[.u a uus yeux la liouou ut* Rev. Meta. T. V. 1897. 31
remplace par 1, et on représente communément ce radical imaginaire par i. p
L’équation générale du second degré conduit à des racines de la forme a + pi, qui nous ramène aux nombres complexes de la généralisation arithmétique. Ajoutons qu’il résulte des travaux de Gauss et d’Argand que l’ensemble des nombres complexes peut être regardé comme complet à l’égard de la résolution des équations algébriques,, puisqu’il suffit à représenter les n racines d’une équation du ne degré à coefficients complexes. Aussi est-il la dernière extension possible de l’ensemble des nombres entiers au point de vue de l’algèbre. Un nombre algébrique étant toute racine de l’équation algébrique a0 xn -+- «t x" 4- -+- an t x -f- an = 0,
où n est entier et les coefficients sont rationnels, l’ensemble des nombres algébriques n’est pas continu, mais présente une infinité de coupures. Ces coupures, infiniment plus nombreuses que les nombres algébriques, définissent les nombres transcendants, dont la caractéristique est de ne pouvoir s’exprimer que par des sommes d’un nombre infini de termes. Ainsi s’impose la question des limites. M. Couturat critique de la façon la plus intéressante la thèse des finitistes intransigeants qui ne voient dens les nombres transcendants que des symboles d’approximation indéfinie. A cette occasion il expose dans l’Appendice la théorie de Kronecker sur les nombres algébriques.
Cette théorie repose sur la notion de congruence, due à Gauss, et est un développement de la théorie de Cauchy sur les imaginaires. Nous ne saurions malheureusement exposer, sans de trop longs ̃ détails, comment Kronecker arrive à construire l’algèbre sur l’unique notion de nombre entier ; mais il paraît- bien acquis que. cette méthode ’ne permet pas de définir les nombres transcendants, et même qu’elle est impuissante à justifier les imaginaires au moyen de congruences entre des entiers, car, si elle ne pose pas V 1, elle pose .t8 H- 1 = 0, ce qui revient bien au même. En ce qui concerne d’ailleurs la-conception des nombres transcendants comme simples approximations, nous pensons, avec M. Couturat, que ce seul mot d’approximation indique un nombre fixe dont on s’approche ; ce nombre, ou coupure, est déterminé par la loi de formation de la suite infinie, et c’est ainsi qu’à nos yeux la notion de
