472 REVOE DE MÉTAPHYSIQUE ET DE MORALE.
non nulle qui, ajoutée à l’une, donne une somme égale à l’autre, laquelle est dite alors plus grande que la première. On démontre, d’autre part, qu’une fraction (a, b) est égale à un entier »,si a–bn la fraction est plus grande que* lui si a > bn, et plus petite si a < bn, une fraction étant plus grande qu’un entier si elle est égale à cet entier plus une autre6,fraction.
On peut dès lors ranger les entiers et les fractions par ordre de grandeur ; mais l’ordre de grandeur des fractions se trouve seul ainsi déterminé c’est la définition de la division qui leur assigne une grandeur absolue. Le quotient de deux fractions étant une fraction qui, multipliée par la seconde, reproduit la première, on démontre que le quotient de deux entiers, considérés comme des fractions, est la fraction qui a pour numérateur le dividende et pour dénominateur le diviseur, et réciproquement. On en déduit que toute fraction est le produit d’un entier par l’inverse d’un autre entier, c’est-à-dire par une fraction ayant 1 pour premier terme. En particulier, on a (n, ri) = n (1, n) ; mais (n, n) = (1, 1) ou t, et dès lors l’inverse d’un entier est le quotient de l’unité par ce nombre, et (1, n) est la n" partie de l’unité, puisque le produit de (1, n) par n est la somme de n fractions égales à (1, n). On a donc retrouvé ainsi la conception vulgaire des fractions. Pour définir les nombres qualifiés, on prend encore un couple de deux nombres arithmétiques rangés dans un ordre déterminé, et l’on pose (a, b) = (a’, b’) si a + b’ = b -f- a’. Si a = b, on a a’ = b’, et dès lors tous les couples formés de deux termes égaux sont égaux entre eux.
L’addition se définit par la relation
(a, b) + (a% b’) = (a + «’,» b + b1).
On en conclut que (a, b) ̃+- (0,0) = (a, b), et que par suite le couple (0, 0), ou zéro algébrique, est le module de cette addition. L’inégalité des couples se définit par les inégalités suivantes (a, b) > (a’, b’), si a -h b’ > b -h a’
(a, b) < (a’,b’), si a + J’ b, on a
(fl,J) = (a-4,0) ;
