L. coutdbat. – Sur l’hypothèse des atomes. 103
aière question ; admettons qu’il ail raison contre M. Cantor sur ce point ; il n’en restera pas moins vrai que l’on peut « inventer un continu numérique adéquat au continu géométrique (p. 14) », et • même, de l’aveu dé l’auteur, plus riche que lui K En ce sens au moins, on peut donc épuiser le continu par le nombre, c’est-à-dire représenter ehaque point du. continu linéaire par un nombre différent. Et M. Hannequin ne peut le nier, lui qui, précisément, invoque l’exemple des nombres irrationnels pour prouver que le continu ne ̃devient intelligible que grâce au nombre. Mais pouf que cet exemple fût probant, il faudrait que le nombre irrationnel fût le fondement des grandeurs incommensurables : si, au contraire, comme nous l’avons soutenu c’est l’existence’ des grandeurs incommensurables qui est l’origine de la notion de nombre irrationnel, l’argument se retourne contre la thèse qu’il doit confirmer. M. lïannequin’ nous objecte Comment, sans le nombre irrationnel, connaîtrions-nous les ° [ grandeurs incommensurables ? Nous lui répondrons Comment, sans’ les grandeurs incommensurables, aurions-nous l’idée de nombre irrationnel ? Si l’on peut dire, en un certain sens, que le nombre irrationnel nous révèle l’existence d’une grandeur incommensurable, c’est justement parce que la grandeur préexiste au nombre qui là représente, ,et est donnée dansée continu géométrique. Sans doute, nous ne savons qu !elle est incommensurable qu’après avoir essayé (en vain) de la mesurer, et le nombre irrationnel qui est censé la mesurer n’exprime, au fond, que l’impossibilité d’une telle mesure. Mais ee n’est pas ce nombre qui rend intelligible le rapport de cette grandeur à’Pûnilé ; c’est bien plutôt ce rapport qui donne un sens au nombre irrationnel. Loin donc de devoir au nombre une intelligibilité d’emprunt, le continu géométrique semble prêter au nombre sa propre intelligibilité.
• En résumé, de deux choses l’une ou bien le nombre irrationnel est un véritable nombre, intelligible par lui-même, et alors le continu, dont l’ensemble des nombres réels (rationnels et irrationnels) est la représentation adéquate, sera entièrement intelligible ; ou bien .1. (P. 53, note 1.) Il nous semble que M. Hannequin et M. Cantor lui-même se font illusion sur ce point. S’il est vrai qu’à chaque point correspond une infinité de nombres (fractionnaires), il est bon d’ajouter que tous ces nombres sont égaux, et par conséquent représentent une seule valeur numérique, comme l’a remarqué avec raison AI. Riquicr (Revue de Métaphysique et de Morale, t. III, . De l’Infini mathématique-, Ir0 partie, livre III, chap. ni, 7-10.
