Mais en même temps que Poincaré est amené à faire les réserves que nous venons d’indiquer sur la puissance des principaux moyens d’action employés avant lui, nous avons déjà vu qu’il en apporte, à son tour, de nouveaux.
Les invariants intégraux viennent rendre des services sinon égaux, du moins analogues à ceux qu’auraient pu fournir ces intégrales uniformes à la poursuite desquelles la mécanique céleste doit renoncer. Comme elles, ils représentent des quantités qui restent constantes pendant tout le cours du mouvement, seule propriété qui permette d’établir des relations directes entre des phases éloignées de celui-ci.
Quant aux solutions périodiques et aux solutions asymptotiques qui en dérivent, nous avons dit qu’elles servent, non seulement en elles-mêmes, mais comme intermédiaires permettant d’arriver aux autres solutions. S’il est vrai qu’un travail récent de M. Birkhoff a montré la nécessité de les généraliser convenablement dans ce but, la portée des idées de Poincaré à cet égard n’en est par là que mieux mise en évidence.
Etant donnée cette importance des solutions périodiques, on ne s’étonnera pas que Poincaré en ait attribué une très grande à leur obtention.
Non seulement mainte page des Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste est consacrée à ce problème hautement difficile, — même une fois simplifié grâce au fait que les conditions où l’on opère sont très voisines de celles dans lesquelles l’intégration est connue — non seulement mainte page le résout dans une foule de cas, mais Poincaré le reprend sous une autre forme dix ans plus tard dans un mémoire des Transactions de la Société mathématique américaine.
C’est à ce même problème enfin, et cette fois, sous sa forme la plus difficile[1], qu’est allée l’une des dernières méditations de sa vie, celle qui a douloureusement ému tous ses admirateurs par le triste pressentiment qui s’y trouve exprimé : je veux parler du Mémoire des Rendiconti del circolo matematico di Palermo écrit peu de mois avant sa mort.
- ↑ La simplification dont nous parlions tout à l’heure n’est plus admise.
