La connaissance des cas où l’intégration se fait par les fonctions classiques a également été notablement étendue par Poincaré. Il en a ete ainsi en particulier en ce qui concerne l’intégration des équations linéaires par les fonctions abéliennes. Mais surtout, il s’est attaqué à la question si simple d’énoncé, si difficile en réalité qui consiste à reconnaître si l’intégrale générale est algébrique ; c’est lui qui, a notre époque, en a le plus avancé l’étude.
Si grandes qu’en soient les difficultés, on ne doit aujourd’hui nous l’avons dit, voir là que le petit côté du calcul intégral. Au lieu de rechercher — non sans peine, nous venons de le dire, — si un extraordinaire hasard ne nous a pas mis en face d’une équation intégrable élémentairement, il est autrement important de disposer des transcendantes nécessaires pour intégrer les équations différentielles telles qu’elles se présentent en fait.
À ce point de vue, nul géomètre n’a remporté de victoire plus glorieuse que l’inventeur des fonctions fuchsiennes, qui permettent d’atteindre toutes les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques, ainsi que nous l’avons dit précédemment.
L’étude des solutions analytiques au point de vue de la théorie générale des fonctions doit à Poincaré un travail qui a joué dans les recherches contemporaines un rôle primordial, quoique la conclusion en ait été surtout négative. Ce sont cette conclusion et surtout la méthode employée qui devaient ouvrir la voie aux fécondes recherches ultérieures que l’on doit à M. Painlevé.
Enfin, dans le cas général, il importe tout d’abord, nous l’avons dit, de former pour les inconnues des développements valables pour toutes les valeurs de la variable. Poincaré le premier put obtenir ce beau résultat, d’une nature entièrement nouvelle ; il montra qu’il suffit à cet effet d’opérer sur cette variable indépendante un changement convenable, après quoi le développement de Taylor lui-même répond à la question.
Mais, tout en élucidant le problème général sous ces différents aspects, il montrait qu’on en avait oublié d’autres plus difficiles encore, mais assurément non moins importants.
