résultats relatifs aux fonctions algébroïdes, obtenus par Poincaré dans sa Thèse, équivalent au théorème en question.
Celui-ci d’ailleurs, pour Poincaré comme pour Weierstrass, n’était que préparatoire. L’étude des fonctions de plusieurs variables ne fut véritablement inaugurée que lorsque, peu d’années après, Poincaré réussit à leur étendre le théorème de Weierstrass sur les fonctions méromorphes.
Quel que soit le nombre des variables, une telle fonction est caractérisée par la propriété de se comporter au voisinage d’un point quelconque, — autrement dit localement, — comme une fonction rationnelle. Localement donc, elle s’exprime par le quotient de deux séries entières convergentes dans un rayon suffisamment petit.
C’est ce résultat qu’il s’agit d’étendre à tout l’espace en exprimant la fonction considérée par le quotient de deux séries entières toujours convergentes.
C’est encore à la théorie généralisée du potentiel — dont l’emploi cependant, semble ici, au premier abord, se heurter à une difficulté insurmontable — que Poincaré demande la démonstration de ce théorème, laquelle, nous l’avons dit, ne pourrait être tentée par la méthode qui réussit dans le cas d’une variable.
Il est revenu à plusieurs reprises sur cette question, qui joue un rôle essentiel dans sa théorie des fonctions abéliennes, et nous devons même à cette circonstance d’importantes propriétés du potentiel, auxquelles il a été aussi conduit.
Un autre point important de la théorie des fonctions d’une
variable attirait l’attention au point de vue de son extension au cas actuel : la notion de résidu, base des plus belles découvertes de Cauchy. En général, c’est-à-dire dans toute région ne comprenant pas de points singuliers, l’intégrale d’une fonction analytique le long d’un contour fermé est nulle. Au contraire si ce contour contient à son intérieur un point singulier, l’intégrale est égale à un certain nombre déterminé caractéristique et, en quelque sorte, mesure de la singularité, qui est le résidu.
Cette pierre angulaire de la théorie de Cauchy devait être transportée à la théorie des fonctions de deux variables si l’on voulait fonder utilement celle-ci. Il fallait à cet effet considérer les intégrales doubles prises le long de multiplicités fermées de l’espace à quatre dimensions, et montrer tout d’abord que ces intégrales
