plupart des cas, et cette conquête, ébauchée dès Newton, est surtout l’œuvre de Cauchy : des relations entre états infiniment voisins, on sait déduire, ce qui est fort différent, la connaissance de tous les états suffisamment voisins d’un état donné. Si par exemple le phénomène à étudier dépend de la position d’un point dans un plan, on sait l’étudier dans toute une petite région entourant un point quelconque donné.
En un certain sens, il peut ainsi être considéré comme connu puisque, avec de petites régions de cette espèce accolées les unes aux autres, on peut constituer des régions plus étendues et meme aussi étendues qu’on le voudra : de même que l’ensemble des feuilles de la carte d’état-major fait connaître tout le sol français, quand chacune d’elles cependant, n’en figure qu’une très faible portion.
Mais cette connaissance que l’on peut appeler locale, est souvent tres insuffisante, beaucoup plus encore que ne le serait, pour un voyage d’un bout à l’autre de la France, la possession des feuilles de la carte à quelqu’un qui ne disposerait d’aucune autre donnée géographique. Elle l’est à des degrés divers suivant la nature du problème posé ; mais dans la plupart des cas, le résultat est connu par des opérations d’une convergence médiocre, c’est-à-dire assez mal et assez péniblement ; d’autant plus mal et d’autant plus péniblement même que le domaine en question est plus petit.
Quoi qu’il en soit, ces premiers résultats, même si l’on n’est pas réduit a s’en contenter, servent tout au moins d’intermédiaires obligés pour en obtenir de meilleurs, de sorte que, presque partout, la marche de la science mathématique actuelle comporte deux étapes :
La solution locale des problèmes ;
Le passage de celle-ci à une solution d’ensemble, si cette sorte de synthèse est possible.
Le premier problème qui avait arrêté le Calcul infinitésimal, celui des quadratures, est, en somme, résolu au sens précédent d’une manière assez satisfaisante. Cette solution diffère assurément beaucoup de celle que cherchaient les contemporains de Leibniz, sans aucune chance de succès, nous le savons maintenant. Mais elle contient l’essentiel de ce qu’on peut savoir dans le cas général et des renseignements beaucoup plus importants dans tous les cas particuliers les plus usuels.
