378 PROBABILITY AND INDUCTION
Pour ce faire, nous devons considérer les dérivées de la fonction représentée par la courbe. Les quotients différentiels d’une fonction sont considérés en physique comme des entités physiques, au même titre que l’entité originale représentée par la fonction ; ainsi, si l’entité originale est une distance spatiale représentée comme une fonction du temps, la première dérivée est une vitesse, la seconde une accélération, etc. Pour toutes ces entités dérivées, nous visons également à construire des lois mathématiques ; nous voulons trouver pour elles aussi des fonctions continues telles que celles recherchées dans notre diagramme. Si l’on considère la chaîne de droites de ce point de vue, elle échoue déjà pour la dérivée première ; dans ce cas, le quotient différentiel premier, conçu comme une fonction de l’argument , n’est pas représenté par une courbe continue mais par une chaîne discontinue de droites horizontales. Ceci peut être illustré par la figure , dont les lignes pointillées correspondent à la dérivée première de la chaîne de droites de la figure ; on voit que l’on n’obtient même pas ici une chaîne continue de droites mais une chaîne décomposée en plusieurs parties. Ainsi, si l’on approxime la courbe originale par une chaîne de droites, le principe de l’approximation linéaire n’est respecté que pour la courbe originale ; pour la dérivée première, il est déjà violé. Il en va autrement pour la courbe lisse ; ses dérivées, conçues comme des fonctions de , sont également des courbes lisses. C’est ce que montre la figure , où la dérivée première de la courbe lisse de la figure est représentée par la ligne continue lisse. C’est la raison pour laquelle la courbe lisse est préférée. Elle a, par rapport à l’ensemble des points observés, des qualités similaires à celles d’une interpolation linéaire et peut être justifiée par le principe d’anticipation ; de plus, elle satisfait également le même postulat pour ses dérivées.
La procédure d’interpolation la plus lisse peut donc être considérée comme une superposition d’interpolations linéaires
