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340 PROBABILITY AND INDUCTION

solution du problème de l’induction se trouve dans la théorie des probabilités. Mais la relation inverse est également valable. Disons, prudemment, que la solution des deux problèmes se trouve dans la même théorie.

En unissant le problème de la probabilité à celui de l’induction, nous nous prononçons sans équivoque en faveur de la détermination du degré de probabilité que les mathématiciens appellent détermination a posteriori. Nous refusons de reconnaître toute détermination dite a priori telle que certains mathématiciens l’introduisent dans la théorie des jeux de hasard ; nous renvoyons sur ce point à nos remarques du § 33, où nous avons mentionné que la détermination dite a priori peut être ramenée à une détermination a posteriori. C’est donc cette dernière procédure qu’il nous faut maintenant analyser.

Par « détermination a posteriori », nous entendons une procédure dans laquelle la fréquence relative observée statistiquement est supposée se maintenir approximativement pour toute prolongation future de la série. Exprimons cette idée dans une formulation exacte. Nous supposons une série d’événements $A$ et ${\bar {A}}$ (non-$A$) ; soit $n$ le nombre d’événements, $m$ le nombre d’événements du type $A$ parmi eux. Nous avons alors la fréquence relative

$h^{n}={\frac {m}{n}}$

L’hypothèse de la détermination a posteriori peut maintenant être exprimée :

Pour toute prolongation de la série jusqu’à $\mathrm {s}$ événements $\mathrm {(s>n)}$, la fréquence relative restera dans un petit intervalle autour de $\mathrm {h^{n}}$ ; c’est-à-dire que nous supposons la relation suivante

$h^{n}-\in \,\,\leqq h^{s}\leqq h^{n}+\in$

où $\in$ est un petit nombre.

Cette hypothèse formule le principe d’induction. Nous pouvons ajouter que notre formulation énonce le principe sous une forme