§ 37. APRIORISM AND FORMALISM 337
interprétation formaliste de la logique des probabilités, tous les efforts des anti-métaphysiciens auraient été vains ; bien qu’ils aient surmonté les difficultés de la logique à deux valeurs, ils échoueraient maintenant devant le concept qui forme l’essence même de la prédiction scientifique — devant le concept de probabilité. Un empirisme logistique serait intenable si nous ne parvenions pas à trouver une solution formaliste au problème des probabilités.
Cette solution existe. Pour la présenter, nous procéderons en deux étapes.
La première étape est marquée par l’interprétation des fréquences. Nous avons montré que la logique des probabilités peut être transformée en logique à deux valeurs par l’interprétation des fréquences. L’énoncé de cette transformation nécessite une remarque supplémentaire. Bien qu’il soit facile de voir qu’une telle transformation est obtenue par l’interprétation des fréquences, nous ne savons pas immédiatement si cette réduction nécessite ou non des axiomes d’un autre type pour lesquels nous n’avons peut-être aucune justification. On ne peut répondre à cette question que par un procédé axiomatique réduisant le calcul mathématique des probabilités à un système de présupposés simples suffisant pour la déduction de tout le système mathématique ; il faut alors s’interroger sur la nature de ces axiomes.
Cette procédure a été menée à bien ; elle aboutit à un résultat de la plus haute pertinence pour notre problème. Il s’avère que tous les théorèmes de probabilité se réduisent à un seul présupposé : il s’agit de l’interprétation fréquentielle. Si la probabilité est interprétée comme la limite de la fréquence relative dans une série infinie (ou finie), toutes les lois de probabilité se réduisent à des lois arithmétiques et, de ce fait, deviennent tautologiques. La démonstration de ce théorème implique quelques complications, car la théorie des probabilités mathématiques fait référence à un grand nombre de types de séries de probabilités, les séries normales, telles qu’elles se produisent dans les jeux de hasard, étant
