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328 PROBABILITY AND INDUCTION

L’opération de négation s’applique à la dichotomie parce qu’elle conduit d’un domaine à l’autre en raison de la relation exprimée en (4), § 35. Il en est de même pour la trichotomie si les limites $p_{1}$ et $p_{2}$ sont situées symétriquement ; en raison de (4), § 35, la négation d’un énoncé vrai est alors fausse, et réciproquement. Dans le cas des autres opérations, cependant, l’application des règles de la logique à deux valeurs n’est permise que dans le sens d’une approximation. Si, par exemple, selon nos définitions, $a$ est vrai et $b$ est vrai, nous ne pouvons pas toujours considérer le produit logique $a\,.b$ comme également vrai, car il existe certaines exceptions. C’est le cas lorsque $P(a)$ et $P(b)$ sont proches de la limite $p_{1}$ ou $p_{2}$ ; il se peut alors que $P(a\,.b)$ soit inférieur à la limite. Ainsi, si $a$ et $b$ sont indépendants, la valeur de $P(a\,.b)$ est donnée par le produit arithmétique de $P(a)$ et $P(b)$ ; comme ces nombres sont des fractions inférieures à $1$, leur produit peut se situer au-dessous de la limite, alors que chacun d’eux se situe au-dessus de la limite. Un cas similaire est possible pour la disjonction. En général, si $a$ est faux, et $b$ est faux, leur disjonction $a\lor b$ est fausse aussi ; il peut arriver cependant dans notre logique dérivée que dans un tel cas la disjonction soit vraie. Cette possibilité est impliquée dans notre formule (1), § 35 ; si $P(a)$ et $P(b)$ sont inférieurs à la limite, $P(a\lor b)$ peut être supérieur à la limite.

La logique à deux valeurs dérivée de la logique des probabilités par dichotomie n’est qu’une logique approximative. Il en va de même pour la logique bivalente ou trivalente dérivée par trichotomie. Cette dernière ne devient une logique stricte que si $p_{1}=0$ et $p_{2}=1$, c’est-à-dire si tout le domaine entre $1$ et $0$ est dit indéterminé. Dans ce cas, des exceptions telles que celles mentionnées ne peuvent se produire ; ce n’est que dans le cas où $a$ et $b$ sont tous deux indéterminés qu’il y a une certaine ambiguïté.^[1] Une telle logique, cependant, ne s’applique pas à la physique, car les cas $P(a)=1$ ou $P(a)=0$ ne se produisent pas dans la pratique ; il n’y aurait

1. Cf. la Wahrscheinlichkeitslehre de l’auteur, §§ 72 et 74.