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324 PROBABILITY AND INDUCTION

Ces brèves remarques peuvent suffire à indiquer la nature de la logique des probabilités ; cette logique s’avère être une généralisation de la logique à deux valeurs, puisqu’elle est applicable dans le cas où les arguments forment une échelle continue de valeurs de vérité. Passons maintenant à la question de l’interprétation du système formel.

Si nous entendons par $a,b,c,....$, des propositions, notre logique des probabilités devient identique au système de poids que nous avons expliqué et utilisé dans nos enquêtes précédentes. Nous parlerons dans cette interprétation de la logique des poids.

Nous pouvons cependant donner une autre interprétation aux symboles $a,b,c,.....$. Nous pouvons entendre par le symbole $a$ non pas une proposition mais une série de propositions définies d’une manière particulière. Considérons une fonction propositionnelle telle que « $x_{i}$ est un dé présentant “la face $1$” » ; les différents lancers du dé, numérotés par l’indice $i$, fournissent alors une série de propositions qui sont tantôt vraies, tantôt fausses, mais qui sont toutes dérivées de la même fonction propositionnelle. Nous parlerons ici d’une série propositionnelle $(a_{i})$. Les parenthèses indiquent qu’il s’agit de la série entière formée par les propositions individuelles $a_{i}$. Ou prenons la fonction propositionnelle : « $x_{i}$ est un cas de tuberculose avec issue fatale » ; elle sera tantôt vraie, tantôt fausse, si $x_{i}$ parcourt tout le domaine des personnes tuberculeuses. Si nous remplaçons les symboles $(a_{i}),(b_{i}),....$, dans nos formules, nous pouvons interpréter $P(a_{i}),P(b_{i}),....$ comme les limites des fréquences avec lesquelles une proposition est vraie dans la série propositionnelle. En ce qui concerne les opérations logiques, nous ajoutons les définitions suivantes

$\left.{\begin{array}{r c l}{\begin{aligned}&[(a_{i})\,\lor (b_{i})]\equiv (a_{i}\lor \,b_{i})\\\,&[(a_{i})\,\,\,.\,\,(b_{i})]\equiv (a_{i}\,\,\,.\,\,b_{i})\\\,&[(a_{i})\supset (b_{i})]\equiv (a_{i}\supset b_{i})\\\,&[(a_{i})\equiv (b_{i})]\equiv (a_{i}\equiv b_{i})\,\end{aligned}}\end{array}}\right\}(5)$