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322 PROBABILITY AND INDUCTION

si $P(a)$ et $P(b)$ sont données, la valeur de $P(a\lor b)$, ou de $P(a\,.b)$, et ainsi de suite, n’est pas déterminée ; il peut y avoir des cas où $P(a)$ et $P(b)$ sont respectivement égaux, alors que $P(a\lor b)$ et $P(a\,.b)$ sont différents. Toutefois, si la « valeur de vérité » de l’une des combinaisons est connue, celle des autres peut être calculée. On peut, par exemple, introduire $P(a\,.b)$ comme troisième paramètre indépendant et déterminer ensuite les « valeurs de vérité » des autres combinaisons en fonction de $P(a)$, $P(b)$ et $P(a\,.b)$. Nous avons, par exemple, la formule

$P(a\lor b)=P(a)+P(b)-P(a\,.b)$ (1)

La nécessité d’un troisième paramètre pour la détermination de la « valeur de vérité » des combinaisons distingue la logique probabiliste de la logique alternative ; elle ne peut être éliminée mais provient d’une indétermination correspondante dans le calcul mathématique. Si $a$ et $b$ désignent les faces $1$ et $2$ d’un même dé, on a

$P(a\,.b)=0$

car les faces ne peuvent pas se trouver ensemble ; la probabilité de la disjonction devient alors $2/6$, ce qui découle de

$P(a)=P(b)={\frac {1}{6}}$

et de notre formule (1). Si au contraire $a$ et $b$ désignent les faces numérotées $1$ de deux dés lancés ensemble, on a en raison de l’indépendance des lancers^[1]

$P(a\,.b)={\frac {1}{6}}\,.{\frac {1}{6}}={\frac {1}{36}}$

et notre formule (1) fournit $11/36$ pour la probabilité de la disjonction, conformément aux règles bien connues du calcul des probabilités.

1. Notons que nos formules générales ne sont pas limitées au cas d’événements indépendants mais s’appliquent à tous les événements quels qu’ils soient.