2. THE SEARCH FOR GENERALITY
sur les triangles annonce les résultats que nous trouverons lorsque nous mesurerons les angles d’un triangle marqué par trois tours. De tels énoncés sont dits synthétiques, une expression que l’on peut traduire par informatifs.
Il existe un autre type d’implication générale. Prenons l’exemple de l’affirmation « tous les célibataires sont non mariés ». Cette affirmation n’est pas très utile. Si nous voulons savoir si un certain homme est célibataire, nous devons d’abord savoir s’il n’est pas marié ; et une fois que nous le savons, l’énoncé ne nous apprend rien d’autre. L’implication n’ajoute rien à la condition qu’elle pose. Les énoncés de ce type sont vides ; ils sont dits analytiques, une expression que l’on peut traduire par auto-explicatifs.
Nous devons maintenant discuter de la question de savoir comment nous pouvons savoir si une implication générale est vraie. Pour les implications analytiques, il est facile de répondre à cette question ; l’implication « tous les célibataires sont non mariés » découle de la signification du mot « célibataire ». Il en va différemment pour les implications synthétiques. Le sens des mots « métal » et « chauffé » ne comporte aucune référence à l’« expansion ». L’implication ne peut donc être vérifiée que par l’observation. Nous avons constaté dans toutes nos expériences passées que les métaux chauffés se dilatent ; nous nous sentons donc autorisés à établir l’implication générale.
Cette explication semble toutefois s’effondrer pour les implications géométriques. Avons-nous appris par nos expériences passées que la somme des angles d’un triangle est de 180 degrés ? Une réflexion sur la méthode géométrique s’oppose à une réponse affirmative. Nous savons que le mathématicien dispose d’une preuve pour le théorème de la somme angulaire. Pour cette preuve, il trace des lignes sur le papier et nous explique certaines relations en référence au diagramme, mais ne mesure pas les angles. Il fait appel à certaines vérités générales appelées axiomes, à partir desquelles il déduit logiquement le théorème ; par exemple, il se réfère à l’axiome selon lequel étant donné une
