Ayant divisé le diamètre d’une demi-circonférence en un certain nombre de parties égales, et décrit sur chacune des parties comme diamètre une demi-circonférence, il est facile de voir que la grande demi-circonférence est égale à la somme des autres. Cela est vrai, quelque nombreuses que soient les divisions du diamètre, et par suite vrai encore à la limite, lorsque la somme des petites demi-circonférences s’est réduite au diamètre de la demi-circonférence primitive. — Donc toute demi-circonférence est égale à son diamètre.
Paradoxe analogue suivant lequel un côté d’un triangle serait égal à la somme des deux autres.
L’explication consiste en ce que la limite d’un nombre infini de parties peut ne pas être égale à la somme des limites. Ainsi, divisez un rectangle en petits rectangles égaux très minces dont vous augmenterez indéfiniment le nombre, alors chaque rectangle tendra vers zéro et pourtant leur somme ne sera pas nulle, puisqu’elle égale toujours le rectangle total.
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Posons
Il vient successivement
d’où
