la corde d’un demi-degré, cette corde combinée, par addition et par soustraction, avec les cordes données qui embrassent ces intervalles, nous servira à compléter toutes les autres intermédiaires. Mais parce que la soutendante de l’arc de 1d étant donnée, celle qui soutend le tiers de cet arc n’est pas pour cela donnée par les lignes ; car, si elle l’étoit, nous aurions par cela même la corde de d ; nous chercherons d’abord la corde de 1d, par le moyen de celle de 1d degré et de celle de d, à l’aide d’un lemme qui, quoiqu’il ne puisse pas donner la juste valeur d’une droite inscrite dans le cercle ; donne au moins les plus petites avec assez de précision, pour qu’il n’y ait pas de différence sensible d’avec celles que l’on détermineroit rigoureusement. Je dis donc que, si l’on mène dans le cercle deux droites inégales, la plus grande sera à la plus petite, en moindre raison que l’arc décrit sur la plus grande, à l’arc soutendu par la plus petite.
En effet, soit le cercle ABGD, et soient menées dans ce cercle deux droites inégales dont la plus grande est BG et la plus petite AB ; je dis que la droite BG est à BA, en moindre raison que l’arc BG à l’arc AB. Soit, en effet, l’angle ABG coupé en deux angles égaux par la droite BD, et soient menées les droites AEG, AD et GD ; l’angle ABC étant coupé en deux également la droite BED, la droite GD est par
τε τὴν σύνθεσιν καὶ τὴν ὑπεροχὴν τὴν πρὸς τὰς τὰ διαστήματα περιεχούσας καὶ δεδομένας εὐθείας καὶ τὰς λοιπὰς τὰς μεταξὺ πάσας ἡμῖν συναναπληρώσει. ἐπεὶ δὲ δοθείσης τινὸς εὐθείας ὡς τῆς ὑπὸ τὴν α ϛ″ μοῖραν ἡ τὸ τρίτον τῆς αὐτῆς περιφερείας ὑποτείνουσα διὰ τῶν γραμμῶν οὐ δίδοταί πως· εἰ δέ γε δυνατὸν ἦν, εἴχομεν ἂν αὐτόθεν καὶ τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον· πρότερον μεθοδεύσομεν τὴν ὑπὸ τὴν α μοῖραν ἀπό τε τῆς ὑπὸ τὴν α ϛ″ μοῖρας καὶ τῆς ὑπὸ ϛ″ δ″ ὑποθέμενοι λημμάτιον, ὅ, κἂν μὴ πρὸς τὸ καθόλου δύνηται τὰς πηλικότητας ὁρίζειν, ἐπί γε τῶν οὕτως ἐλαχίστων τὸ πρὸς τὰς ὡρισμένας ἀπαράλλακτον δύναιτ' ἂν συντηρεῖν. Λέγω γάρ ὅτι, ἐὰν ἐν κύκλῳ διαχθῶσιν ἄνισοι δύο εὐθεῖαι, ἡ μείζων πρὸς τὴν ἐλάσσονα ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ἐπὶ τῆς μείζονος εὐθείας περιφέρεια πρὸς τὴν ἐπὶ τῆς ἐλάσσονος.
Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ διήχθωσαν ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι ἄνισοι ἐλάσσων μὲν ἡ ΑΒ, μείζων δὲ ἡ ΒΓ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ εὐθεῖαν ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περιφέρειαν. Τετμήσθω γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα ὑπὸ τῆς ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΑΕΓ, καὶ ἡ ΑΔ καὶ ἡ ΓΔ· καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΒΕΔ εὐθείας, ἴση μέν ἐστιν ἡ ΓΔ εὐθεῖα τῇ ΑΔ, μείζων δὲ ἡ ΓΕ τῆς ΕΑ. Ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Δ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΕΓ, ἡ ΔΖ· ἐπεὶ τοίνυν μείζων ἐστὶν ἡ μὲν
