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les points A et G par la droite AG, cette droite sera aussi donnée, Car, soit mené, de B en E, le diamètre RZE, et soient tirées les droites RD, DG, GE, DE, il est clair qu’à cause de la droite BG, CE sera donnée ; et qu’à cause de AB, BD sera aussi donnée, ainsi que DE. Or, d’après ce que nous avons démontré, le quadrilatère BGDE étant inscrit au cercle, et les diagonales BD, GE y étant menées, le rectangle de ces diagonales est égal à la somme des rectangles faits sur les côtés opposés du quadrilatère. Ainsi, puisque le rectangle BD GE étant donné, celui qui est construit sur BG et DE est aussi donné, il s’ensuit que le rectangle BE GD est aussi donné. Or le diamètre BE est donné ; donc l’autre côté GD sera donné, et on en conclura aisément la valeur de GA, qui soutend le reste de la demi-circonférence. Par conséquent, si deux arcs sont donnés, ainsi que leurs soutendantes, on trouvera par ce théorème la droite qui soutend la somme de ces deux arcs.
Il est évident que, si nous ajoutons à toutes les soutendantes (cordes) prises précédemment, celle de degré, et que nous prenions les soutendantes de ces sommes, nous inscrirons aisément toutes celles qui, rendues doubles, pourront être divisées juste par 3 (h). Il ne restera d’omises encore que celle qui seront dans les intervalles des accroissemens par , deux en chaque (i) attendu que nous inscrivons par demi-degrés. C’est pourquoi, quand nous aurons trouvé
εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ δεδομέναι, λέγω ὅτι, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΓ, δοθήσεται καὶ αὐτή. διήχθω γὰρ διὰ τοῦ Β διάμετρος τοῦ κύκλου ἡ ΒΖΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΔ, ΔΓ, ΓΕ, ΔΕ, δῆλον δὴ αὐτόθεν ὅτι διὰ μὲν τὴν ΒΓ δοθήσεται καὶ ἡ ΓΕ· διὰ δὲ τὴν ΑΒ δοθήσεται ἥ τε ΒΔ καὶ ἡ ΔΕ. καὶ διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς ἔμπροσθεν, ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστὶ τὸ ΒΓΔΕ, καὶ διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΒΔ, ΓΕ, τὸ ὑπὸ τῶν διηγμένων περιεχόμενον ὀρθογώνιον, ἴσον ἐστὶ συναμφοτέροις τοῖς ὑπὸ τῶν ἀπεναντίον· ὥστε, ἐπεὶ δεδομένου τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ ΓΕ, δέδοται καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΔΕ, δέδοται ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΕ ΓΔ. Δέδοται δὲ· καὶ ἡ ΒΕ διάμετρος, καὶ ἡ λοιπὴ ἡ ὑπὸ τὴν ΓΔ ἔσται δεδομένη, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ λείπουσα εἰς τὸ ἡμικύκλιον ἡ ΓΑ· ὥστε, ἐὰν δοθῶσιν δύο περιφέρειαι καὶ αἱ ὑπ’ αὐτὰς εὐθεῖαι, δοθήσεται καὶ ἡ συναμφοτέρας τὰς περιφερείας κατὰ σύνθεσιν ὑποτείνουσα εὐθεῖα διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος.
Φανερὸν δέ ὅτι, συντιθέντες ἀεὶ μετὰ τῶν προεκτεθειμένων πασῶν τὴν ὑπὸ τὴν α ς″ μοῖρῶν, καὶ τὰς συναπτομένας ἐπιλογιζόμενοι, πάσας ἁπλῶς ἐγγράψομεν, ὅσαι δὶς γινόμεναι, τρίτον μέρος ἕξουσι· καὶ μόναι ἔτι περιλειφθήσονται αἱ μεταξὺ τῶν ἀνὰ α ς″ μοῖρῶν διαστημάτῳν δύο καθ’ ἕκαστον ἐσόμεναι, ἐπειδήπερ καθ’ ἡμιμοίριον ποιούμεθα τὴν ἐγγραφήν. ὥστε, ἐὰν τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον εὐθεῖαν εὕρωμεν, αὕτη κατά
