perpendiculaire DZ sur la base, EZ est égale à ZG ; or EC entière est la différence des droites AB, AG ; donc ZG est la moitié de cette différence. Ainsi, puisque la droite qui soutend l’arc BG étant donnée, AB qui soutend le reste de la demi-circonférence est aussi donné, ZG moitié de la différence entre AG et AB, sera aussi par là même donnée. Mais puisque, dans le triangle rectangle AGD, étant menée la perpendiculaire DZ, le triangle rectangle ADG devient équiangle au triangle DGZ et que CD est à GZ comme AG est à GD, il s’ensuit que le rectangle AG GZ est égal au carré fait sur GD ; donc la droite GD qui soutend la moitié de l’arc BG, sera donnée de longueur.
Ce théorème servira à faire trouver la plupart des autres soutendantes en prenant les moitiés des arcs donnés. Par exemple, au moyen de la droite qui soutend l’arc de 12 degrés, on trouvera celles des arcs de 6d, de 3d, de 1 d, et de d’un seul degré. Or nous trouvons par le calcul, que la soutendante de 1 d contient à très-peu près 1p 34′ 15″, des parties dont le diamètre en contient 120, et que celle de en contient 0p 47′ 8″.
Soit encore le cercle ABGD autour du diamètre AD et du centre Z. Soient pris depuis le point A les deux arcs donnés consécutifs AB, BG, et joignons leurs soutendantes données AB, BG je dis que, si nous joi-
τριγώνου τοῦ ΔΕΓ, ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος [40]ἦκται ἡ ΔΖ, ἴση ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΓ· ἀλλ’ ἡ ΕΓ ὅλη ἡ ὑπεροχή ἐστι τῶν ΑΒ καὶ ΑΓ εὐθειῶν, ἡ ἄρα ΖΓ ἡμίσειά ἐστι τῆς τῶν αὐτῶν ὑπεροχῆς· ὥστε, ἐπεὶ τῆς ὑπὸ τὴν ΒΓ περιφέρειαν εὐθείας ὑποκειμένης, αὐτόθεν δέδοται καὶ ἡ λείπουσα εἰς τὸ ἡμικύκλιον ἡ ΑΒ, δοθήσεται καὶ ἡ ΖΓ ἡμίσεια οὖσα τῆς τῶν ΑΓ καὶ ΑΒ ὑπεροχῆς. Αλλ’ ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τῷ ΑΓΔ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΔΖ, ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΑΔΓ ὀρθογώνιον τῷ ΔΓΖ, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΔ, ἡ ΓΔ πρὸς ΓΖ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΖ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον· ὥστε καὶ μήκει ἡ ΓΔ εὐθεῖα δοθήσεται, τὴν ἡμίσειαν ὑποτείνουσα τῆς ΒΓ περιφερείας.
Καὶ διὰ τούτου δὴ πάλιν τοῦ θεωρήματος ἄλλαι τε ληφθήσονται πλεῖσται κατὰ τὰς ἡμισείας τῶν προεκτεθειμένων· καὶ δὴ καὶ ἀπὸ τῆς τὰς ιβ μοίρας ὑποτεινούσης εὐθείας, ἥ τε ὑπὸ τὰς ϛ, καὶ ἡ ὑπὸ τὰς γ, καὶ ἡ ὑπὸ τὴν α ϛ″ καὶ ἡ ὑπὸ τὸ ϛ″ δ″ τῆς μιᾶς μοίρας. Εὑρίσκομεν δὲ ἐκ τῶν ἐπιλογισμῶν [41]τὴν μὲν ὑπὸ τὴν α ϛ″ μοῖραν τοιούτων α λδ′ ιε″ ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ, τὴν δὲ ὑπὸ τὸ ϛ″ δ″ τῶν αὐτῶν ὀ μζ′ η″.
Πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ διάμετρον μὲν τὴν ΑΔ, κέντρον δὲ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἀπειλήφθωσαν δύο περιφέρειαι δοθεῖσαι κατὰ τὸ ἑξῆς αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ ὑπ’ αὐτὰς
