et GD, donc AD BG est aussi donné ; mais AD est le diamètre, donc la droite DG se trouve par là donnée. Ainsi nous voyons clairement que si deux arcs sont donnés avec leurs soutendantes, la droite qui soutend la différence de ces deux arcs sera aussi donnée ; et il est évident que, par le moyen de ce théorème, nous inscrirons beaucoup d’autres droites qui soutendent les différences des deux ans dont les soutendantes seront données, et que par conséquent, nous trouverons facilement celle qui soutend 12 parties de la circonférence, puisque nous avons celle de 60 et celle de 72 degrés.
Soit encore proposé, étant donnée une droite inscrite dans un cercle, de trouver la soutendante de la moitié de l’arc soutendu par cette droite. Pour cela, soit le demi-cercle ABG décrit sur le diamètre AG, soit donnée la droite GB et soit l’arc GB coupé par moitié au point D. Soient menées les droites AB, AD, BD, DG, et du point D soit abaissée la perpendiculaire DZ sur AG : je dis que ZG est la moitié de la différence entre AB et AG ; car, soit prise AE égale à AB, et joignons la droite DE ; puisque AB est égale à AE, et que AD est commune, les deux côtés AB, AD, sont égaux aux deux AE, AD, chacun à chacun et l’angle BAD est égal à l’angle EAD ; la base BD est donc égale à la base DE. Mais BD est égale à DG ; donc DG est égale à DE. Le triangle DEC étant donc isocèle, soit abaissée du sommet la
ὑπὸ ΑΒ, ΓΔ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΔ ΒΓ δοθέν ἐστι, καί ἐστιν ἡ ΑΔ διάμετρος, δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ εὐθεῖα. Καὶ φανερὸν ἡμῖν γέγονεν ὅτι, ἐὰν δοθῶσι δύο περιφέρειαι καὶ αἱ ὑπ’ αὐτὰς εὐθεῖαι, δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ τὴν ὑπεροχὴν τῶν δύο περιφερειῶν ὑποτείνουσα εὐθεῖα· δῆλον δέ, ὅτι διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος ἄλλας τε οὐκ ὀλίγας εὐθείας ἐγγράψομεν ἀπὸ τῶν ἐν ταῖς καθ’ αὑτὰς δεδομένων ὑπεροχῶν, καὶ δὴ καὶ τὴν ὑπὸ τὰς ιβ μοίρας, ἐπειδήπερ ἔχομεν τήν τε ὑπὸ τὰς ξ καὶ τὴν ὑπὸ τὰς οβ.
Πάλιν προκείσθω, δοθείσης τινὸς εὐθείας ἐν κύκλῳ, τὴν ὑπὸ τὸ ἥμισυ τῆς ὑποτεινομένης περιφερείας εὐθεῖαν εὑρεῖν. Καὶ ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΓ, καὶ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΓΒ, καὶ ἡ ΓΒ περιφέρεια δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΑΔ, ΒΔ, ΔΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω ἡ ΔΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΖΓ ἡμίσειά ἐστι τῆς τῶν ΑΒ καὶ ΑΓ ὑπεροχῆς. Κείσθω γὰρ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ· ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΑΔ δύο ταῖς ΑΕ, ΑΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΔ ἴση ἐστίν, καὶ βάσις ἄρα ἡ ΒΔ βάσει τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν· ἀλλὰ ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἴση ἐστίν· καὶ ἡ ΔΓ ἄρα τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν· ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελοῦς ὄντος
