de DZ qui est le côté du décagone, il s’ensuit que BZ est égal au côté du pentagone.
Faisant donc, comme je l’ai dit, le diamètre du cercle de 120 parties, DE qui est la moitié du rayon, sera de 30, et son carré sera de 900. Le rayon BD est de 60, et son carré est de 3600 ; mais le carré de EB, c’est-à-dire celui de EZ, est de 4500 ; par conséquent, la longueur de cette ligne EZ est de 67P 4′ 55″, à très-peu près, et DZ est de 37P 4′ 55″ ; donc le côté du décagone qui soutend un arc de 36 des degrés dont la circonférence en contient 360, est de 70P 32′ 3″ des parties dont le diamètre en contient 120P. (c) De plus, puisque la ligne DZ est de 37P 4′ 55″, son carré est de 1375P 4′ 15″ ; mais le carré de DB est de 3600 des mêmes parties, et la somme de ces deux carrés est égale au carré de BZ qui est par conséquent de 4975P 4′ 15″ ; donc la ligne BZ est de 70P 32′ 3″, environ : ainsi le côté du pentagone qui soutend 72 des degrés dont la circonférence en contient 360, contient 70P 32′ 3″, des parties dont le diamètre en contient 120P. (d) Or il est évident que le côté de l’hexagone qui soutend 60 degrés, et qui est égal au rayon, est de 60 parties. De même, le carré du côté du quadrilatère qui soutend 90 degrés de la circonférence, est égal au double carré du rayon ; et le carré du côté du triangle qui soutend 120 de ces mêmes degrés, est égal au triple carré du rayon. Mais le carré du rayon est de 3600 parties ; on en conclura le carré du côté de ce quadrilatère, de 7200 ; et celui du côté de ce même triangle, de 10800 parties. Par conséquent, la droite qui soutend 90 degrés de la circonférence
ἑξαγώνου πλευρὰ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΖ, ἥτις ἐστὶ δεκαγώνου πλευρὰ, ἡ ΒΖ ἄρα ἐστὶν ἴση τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ.
Ἐπεὶ γοὖν, ὡς ἔφην, ὑποτιθέμεθα τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον τμημάτων ρκʹ, γίνεται διὰ τὰ προκείμενα ἡ μὲν ΔΕ ἡμίσεια οὖσα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων λʹ, καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς Ϡʹ, ἡ δὲ ΒΔ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τμημάτων ξʹ, καὶ τὸ ἀπὸ αὐτῆς γχʹ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΒ, τουτέστι, τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ. τῶν ἐπὶ τὸ αὐτὸ δφʹ· μήκει ἄρα ἔσται ἡ ΕΖ τμημάτων ξζ δ νε ἔγγιστα, καὶ λοιπὴ ἡ ΔΖ τῶν αὐτῶν λζʹ δ νε. ἡ ἄρα τοῦ δεκαγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ περιφέρειαν τοιούτων λϚʹ, οἵων ἐστὶν ὁ κύκλος τξʹ, τοιούτων ἔσται λζʹ δ νε, οἵων ἡ διάμετρος ρκ. πάλιν ἐπεὶ ἡ μὲν ΔΖ τμημάτων ἐστὶ λζʹ δ νε, τὸ δὲ ἀπὸ αὐτῆς ατοεʹ δ ιε, ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ τῶν αὐτῶν γχʹ, ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον δϠοεʹ δ ιε, μήκει ἄρα ἔσται ἡ ΒΖ τμημάτων οʹ λβ γ ἔγγιστα, καὶ ἡ τοῦ πενταγώνου ἄρα πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας οβʹ, οἵων ἐστὶν ὁ κύκλος τξʹ, τοιούτων ἐστὶν οʹ λβ γ, οἵων ἡ διάμετρος ρκʹ. φανερὸν δὲ αὐτόθεν, ὅτι καὶ ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας ξʹ, καὶ ἴση οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, τμημάτων ἐστὶν ξʹ. Ὁμοίως δέ, ἐπεὶ ἡ μὲν τοῦ τετραγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας ἐννενήκοντα, δυνάμει διπλασία ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ δὲ τοῦ τριγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ μοίρας ρκʹ, δυνάμει τῆς αὐτῆς ἐστιν τριπλασίων· τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων ἐστὶν γχʹ, συναχθήσεται
