AG, le rayon DB ; 
soit DG coupée en son milieu au point E ; joignez EB et prenez EZ égale à EB ; enfin, joignez ZB ; je dis que ZD est le côté d’un décagone, et BZ celui d’un pentagone. En effet, puisqu’on a cette droite DG coupée en deux moitiés en F, et qu’on l’a prolongée par la droite DZ, le rectangle construit sous GZ et ZD, plus le carré de ED, est égal au carré de EZ, c’est-à-dire au carré de EB, puisque EB est égale à ZE. Mais les carrés de ED et de DB sont égaux au carré de EB ; donc le rectangle construit sur GZ et ZD, plus le carré de ED, font une somme égale à celle des carrés de ED et de DB donc, retranchant le carré de DE commun de part et d’autre, le reste, qui est le rectangle sur GZ et DZ, est égal au carré de DB, ou au carré de GD ; donc GZ est coupée en moyenne et extrême raison au point D. Or (a), puisque le côté de l’hexagone et celui du décagone inscrits dans le même cercle se trouvent sur une même droite, en la coupant en moyenne et extrême raison, et que la droite pu rayon GD est le côté de l’hexagone il s’ensuit que ZD est le côté du décagone (b). Pareillement puisque le carré du côté du pentagone est égal à la somme des carrés des côtés du décagone et de l’hexagone inscrits dans le même cercle, et que le carré de l’hypoténuse BZ est égal au carré de BD qui est le côté de l’hexagone et au carré
γωνίας ἤχθω ἡ ΔΒ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΔΓ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπεσεύχθω ἡ ΕΒ, καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ, λέγω ὅτι ἡ μὲν ΖΔ δεκαγώνου ἐστὶ πλευρὰ, ἡ δὲ ΒΖ πενταγώνου. Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΔΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ πρόσκειταί τις αὐτῇ εὐθεῖα ἡ ΔΖ, τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳ, τουτεστι, τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΖΕ. Ἀλλὰ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΔ καὶ ΔΒ τετράγωνα· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ τετραγώνου, ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΔ, ΔΒ τετραγώνοις, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου, λοιπὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ, τουτέστι, τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ· ἡ ΖΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Δ. Ἐπεὶ οὖν ἡ τοῦ ἑξαγώνου καὶ ἡ τοῦ δεκαγώνου πλευρὰ τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμνονται, ἡ δὲ ΓΔ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τὴν τοῦ ἐξαγώνου περιέχει πλευρὰν, ἡ ΔΖ ἄρα ἐστὶν ἴση τῇ τοῦ δεκαγώνου πλευρᾷ. Ὁμοίως δὲ ἐπεὶ ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου, καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων, τοῦ δὲ ΒΔΖ ὀρθογωνίου τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ τῆς ΒΔ, ἥτις ἐστὶν
