Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/97

gagnera les deux premières parties. Mais lors même que l’on connaîtra le joueur le plus habile, on n’aura pas toujours de l’avantage à parier que ce sera lui qui gagnera ces deux parties ; car, sur quatre combinaisons qui pourront arriver, on en aurait alors trois contre soi et une seule favorable ; et quoique celle-ci fût la plus probable, sa chance pourrait ne pas balancer celles des trois autres ensemble.

En général, soit $p$ la probabilité connue d’un événement E de nature quelconque, et $q$ celle de l’événement contraire F, de sorte qu’on ait ${p+q=1}$. Supposons, en outre, qu’une cause quelconque puisse augmenter la chance de l’un de ces deux événements, sans qu’on sache lequel, et diminuer en même temps celle de l’autre, d’une fraction inconnue $\alpha$. Désignons par $\varpi$ la probabilité que sur un nombre $m$ d’épreuves, ce sera le même événement, E ou F, qui arrivera constamment. Si E est l’événement favorisé par la chance inconnue, la probabilité de la similitude de $m$ événements successifs, sera, d’après la règle du n^o 10,

$(p+\alpha )^{m}+(q-\alpha )^{m}$ ;

car elle pourra avoir lieu de deux manières différentes, c’est-à-dire, selon que E ou F arrivera à toutes les épreuves. Si, au contraire, c’est F qui est l’événement favorisé, la probabilité de la similitude de $m$ événements successifs aura pour expression

$(p-\alpha )^{m}+(q+\alpha )^{m}$.

Or, puisque l’on ignore quel est celui des deux événements E et F dont la chance est augmentée ou diminuée, ces deux valeurs différentes de la probabilité qui répond à la similitude, sont pour nous également possibles ; la probabilité de chacune d’elles est donc 1/2 ; et, toujours par la règle du n^o 10, la somme de ces deux valeurs multipliées par 1/2, est la probabilité totale de la similitude. Par conséquent, on a

$\varpi ={\tfrac {1}{2}}(p+\alpha )^{m}+{\tfrac {1}{2}}(q-\alpha )^{m}+{\tfrac {1}{2}}(p-\alpha )^{m}+{\tfrac {1}{2}}(q+\alpha )^{m}$,

ou, ce qui est la même chose,

$\varpi =\mathrm {P} +\mathrm {Q}$,