Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/88

$\alpha$ et $\beta$ n’est plus celle des probabilités que A et B supposaient à ces événements, et il n’y a plus moyen de la régler équitablement.

(22). On calculera sans peine, au moyen des formules du n^o 19, les diverses chances de la loterie de France, heureusement supprimée par une loi récente. En les comparant aux multiples des mises que la loterie payait pour les billets gagnants, on verra que ces multiples étaient beaucoup au-dessous de ceux qu’elle aurait dû payer pour que le jeu fût égal, et qu’il en résultait pour la loterie, aux dépens des joueurs, un avantage exorbitant que la loi aurait puni comme illicite, dans une spéculation particulière.

Soient, en général, $n$ le nombre de numéros dont une loterie est composée, $m$ celui des numéros qui sortent à chaque tirage, $l$ le nombre de ceux qui sont portés sur le billet qu’un joueur a choisi, et $\lambda$ la probabilité que ces derniers numéros sortiront. Les nombres de groupes de $l$ numéros qu’on peut former, soit avec les $n$ numéros de la loterie, soit avec les $m$ numéros qui sortent à chaque tirage, seront, d’après les formules du numéro cité,

${\frac {n\,{.}\,n-1\,{.}\,n-2\ldots n-l+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots l}}$,${\frac {m\,{.}\,m-1\,{.}\,m-2\ldots m-l+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots l}}$ ;

et la probabilité $\lambda$ aura pour valeur le rapport du second nombre au premier, c’est-à-dire,

$\lambda ={\frac {m\,{.}\,m-1\,{.}\,m-2\ldots m-l+1}{n\,{.}\,n-1\,{.}\,n-2\ldots n-l+1}}$.

En prenant pour unité, la mise du joueur, celle de la loterie devra être le rapport de ${1-\lambda }$ à $\lambda$ ; et en cas de gain, la loterie devra aussi rendre au joueur la mise qu’il a payée d’avance ; si l’on appelle $\mu$ le multiple de cette mise que la loterie devra payer au gagnant, on aura donc

$\mu ={\frac {1-\lambda }{\lambda }}+1={\frac {1}{\lambda }}$.

Soit aussi $x$ le nombre de tirages nécessaire pour que l’on puisse parier un contre un, que les numéros portés au billet du joueur sorti-