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En représentant ce que devient $\mathrm {G} _{m}$ par $\mathrm {G} '_{m}$, lorsqu’on y change $c$ et $\mu$ en $a$ et $m$, et par $\mathrm {G} ''_{n}$, quand on y fait le changement de $c$ et $\mu$ en $b$ et $n$, nous aurons de même

${\begin{aligned}\mathrm {G} '_{m}&={\frac {a\,{.}\,a-1\,{.}\,a-2\ldots a-m+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots m}},\\\mathrm {G} ''_{n}&={\frac {b\,{.}\,b-1\,{.}\,b-2\ldots b-n+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}.\end{aligned}}$

Le produit de $\mathrm {G} '_{m}$ et $\mathrm {G} ''_{n}$ sera le nombre de groupes de ${m+n}$ ou $\mu$ boules que l’on peut former avec les ${a+b}$ ou $c$ boules contenues dans A, et dont chacun renfermera $m$ boules blanches et $n$ boules noires ; la probabilité d’amener un de ces groupes en tirant à la fois $\mu$ boules de l’urne A, est d’ailleurs égale à leur nombre divisé par celui de tous les groupes de $\mu$ boules que A renferme, c’est-à-dire à ce produit $\mathrm {G} '_{m}\mathrm {G} ''_{n}$ divisé par $\mathrm {G} _{\mu }$ ; en la désignant par $\Pi$, on aura donc

$\Pi ={\frac {\mathrm {G} '_{m}\mathrm {G} ''_{n}}{\mathrm {G} _{\mu }}}$ ;

ce qui coïncide avec la valeur de $\Pi$ du numéro précédent. L’expression de $\mathrm {P}$ du même numéro est aussi la probabilité d’amener au moins $m$ boules blanches en tirant à la fois $\mu$ boules de l’urne A.

(20). Dans l’exemple de ce n^o 18, la chance de l’événement E variait pendant les épreuves, parce qu’à chaque nouvelle épreuve, elle dépendait des nombres de fois que E et l’événement contraire F avaient eu lieu précédemment ; mais il y a d’autres questions dans lesquelles ces deux événements, d’une nature quelconque, ont des chances propres, indépendantes à chaque épreuve, de ce qui est arrivé jusque là, et qui varient d’une épreuve à une autre.

Généralement, dans une série de $\mu$ épreuves que l’on va faire ou qui ont eu lieu, soient $p_{1}$ et $q_{1}$ les chances de E et F à la première épreuve, $p_{2}$ et $q_{2}$ à la seconde…, $p_{\mu }$ et $q_{\mu }$ à la dernière, de sorte qu’on ait

$p_{1}+q_{1}=1$, $p_{2}+q_{2}=1$, …, $p_{\mu }+q_{\mu }=1$.