ce qui coïncide avec une formule connue et analogue à celle du binôme. Dans cette formule et dans toutes celles de ce genre, chaque quantité telle que
est un produit de
facteurs pour lequel on doit prendre l’unité quand
; d’où il résulte que cette formule ne convient pas au cas de
; exception qui a lieu également pour la formule du binôme appliquée à la puissance zéro.
(19). Au lieu de faire
tirages successifs sans remettre les boules sorties de A, il est évident que la probabilité d’amener
boules blanches et
boules noires serait encore la même, si l’on tirait en une seule fois
ou
boules de cette urne. C’est effectivement ce qu’on peut vérifier de la manière suivante.
Je désigne généralement par
le nombre de groupes composés chacun de
boules, que l’on peut former avec les
boules contenues dans A. On aura
![{\displaystyle \mathrm {G} _{\mu }={\frac {c\,{.}\,c-1\,{.}\,c-2\ldots c-\mu +1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62355bd5ce703aa1b559f70b5a7970ade7d96b43)
.
En effet, pour former tous ces groupes au moyen de ceux de
boules, il faudra combiner chacun de ceux-ci avec les
boules qu’il ne contient pas ; ce qui donnerait un nombre
de groupes de
boules ; mais comme il y a un nombre
de groupes de
boules qui donnent un même groupe de
boules ; on devra diviser ce produit
par
pour avoir le nombre de groupes différents, composés de
boules. On aura donc
![{\displaystyle \mathrm {G} _{\mu }={\frac {c-\mu +1}{\mu }}\mathrm {G} _{\mu -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd5c038bd93f22bbb27d18196b8fcca135d77b5)
;
or, pour
, on a évidemment
; si donc on fait successivement
, etc., il en résultera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {G} _{2}={\frac {c-1}{2}}\,{.}\,\mathrm {G} _{1}={\frac {c\,{.}\,c-1}{1\,{.}\,2}},\\&\mathrm {G} _{3}={\frac {c-2}{3}}\,{.}\,\mathrm {G} _{2}={\frac {c\,{.}\,c-1\,{.}\,c-2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}},\\&\mathrm {G} _{4}={\frac {c-3}{4}}\,{.}\,\mathrm {G} _{3}={\frac {c\,{.}\,c-1\,{.}\,c-2\,{.}\,c-3}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\,{.}\,4}},\\&\;\,\vdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0688ffe9173385526dfe4f1d8330121329e9a312)
et enfin l’expression de
qu’il s’agissait de démontrer.