obtient, en mettant successivement au lieu de
et
dans cette dernière formule,
et zéro,
et 1,
et 2,…
et
. En désignant cette probabilité par
, nous aurons, de cette manière,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} \,.{}c\,.{}c-1&\,.{}c-2\ldots c-\mu +1=a\,.{}a-1\,.{}a-2\ldots a-\mu +1\\&+\mu b\,.{}a\,.{}a-1\,.{}a-2\ldots a-\mu +2\\&+{\tfrac {\mu \,.\,\mu -1}{1\,.\,2}}\,.{}b\,.{}b-1\,.{}a\,.{}a-1\,.{}a-2\ldots a-\mu +3\\&+{\tfrac {\mu \,.\,\mu -1\,.\,\mu -2}{1\,.\,2\,.\,3}}\,.{}b\,.{}b-1\,.{}b-2\,.{}a\,.{}a-1\,.{}a-2\ldots a-\mu +4\\&\;\,\vdots \\&+{\tfrac {\mu \,.\,\mu -1\,.\,\mu -2\ldots \mu -n+1}{1\,.\,2\,.\,3\,\ldots \,n}}{.}b{.}b{-}1\ldots b{-}n{+}1{.}a{.}a{-}1\ldots a{-}m{+}1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e1e07d42968264afc48316180475d87b0561e3)
Dans le cas de
et
, on devra avoir
; on en conclut donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}c\,.{}c-1&\,.{}c-2\ldots c-\mu +1=a\,.{}a-1\,.{}a-2\ldots a-\mu +1\\&+\mu \,.{}b\,.{}a\,.{}a-1\,.{}a-2\ldots a-\mu +2\\&+{\tfrac {\mu \,.\,\mu -1}{1\,.\,2}}\,.{}b\,.{}b-1\,.{}a\,.{}a-1\,.{}a-2\ldots a-\mu +3\\&+{\tfrac {\mu \,.\,\mu -1\,.\,\mu -2}{1\,.\,2\,.\,3}}\,.{}b\,.{}b-1\,.{}b-2\,.{}a\,.{}a-1\,.{}a-2\ldots a-\mu +4\\&\;\,\vdots \\&+\mu \,.{}b\,.{}b-1\,.{}b-2\ldots b-\mu +2\,.{}a\\&+b\,.{}b-1\,.{}b-2\ldots b-\mu +1\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf61929af75b555df115c23cbe6b583cc926a1c)
celle d’une boule noire ; et par conséquent, la probabilité d’amener une boule blanche, reste toujours égale à 1/2. On peut aussi remarquer que cette proposition s’accorde, dans le cas où les nombres
et
sont infinis, avec une autre qui sera démontrée dans la suite de cet ouvrage, et suivant laquelle il est certain que les nombres
et
seront entre eux comme
et
; alors, on est donc assuré que les nombres
et
, des boules restantes dans l’urne sont encore entre eux comme
et
; en sorte que la chance et la probabilité de l’arrivée d’une nouvelle boule blanche, ne sont plus distinctes l’une de l’autre, et ont pour valeur le rapport
égal à
.