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En supprimant des facteurs communs au numérateur et au dénominateur, cette formule devient plus simplement^[1]

\Pi ={\tfrac {\mu \,{.}\,\mu -1\,{.}\,\mu -2\,\ldots \,\mu -n+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\,\ldots \,n}}\cdot {\tfrac {a\,{.}\,a-1\,{.}\,a-2\,\ldots \,a-m+1\,{.}\,b\,{.}\,b-1\,{.}\,b-2\,\ldots \,b-n+1}{c\,{.}\,c-1\,{.}\,c-2\,\ldots \,c-\mu +1}}

.

La probabilité que sur le nombre $\mu$ de tirages il sortira de A au moins $m$ boules blanches, sera la somme des ${n+1}$ valeurs de $\Pi$ que l’on

↑ Après les $\mu$ tirages qui ont amené $m$ boules blanches et $n$ noires, la chance d’amener une blanche dans un nouveau tirage, dépend de ces nombres $m$ et $n$ , et est égale à ${\tfrac {a'}{c'}}$ . Mais pour une personne qui saurait seulement qu’on a tiré de l’urne un nombre $\mu$ de boules, et qui ignorerait la proportion des blanches et des noires qui en sont sorties, la probabilité de l’arrivée d’une boule blanche, dans un nouveau tirage, serait très différente de cette chance ${\tfrac {a'}{c'}}$ ; et d’après une note que vient de m’adresser M. Émile Mondésir, ancien élève de l’École Polytechnique, la probabilité dont il s’agit est indépendante des nombres $m$ et $n$ , et égale à, ${\tfrac {a}{c}}$ comme avant les tirages.
Pour vérifier cette proposition sur un exemple, supposons qu’on ait

$a=4$ , $b=3$ , $c=7$ , $\mu =2$ , $c'=5$ .

Relativement aux nombres $m$ et $n$ , il y aura trois cas possibles, mais inégalement probables, savoir ${m=2}$ et ${n=0}$ , ${m=1}$ et ${n=1}$ , ${m=0}$ et ${n=2}$ . Les probabilités de ces trois cas différents, déduites de l’expression de $\Pi$ , seront respectivement 2/7, 4/7, 1/7 ; dans ces mêmes cas, les chances de l’arrivée d’une blanche dans un tirage subséquent, auront pour valeurs 2/5, 3/5, 4/5 ; d’après les règles des n^os 5 et 10, la probabilité complète de l’extraction d’une boule blanche, sera donc la somme des produits de 2/7 et 2/5, 4/7 et 3/5, 1/7 et 4/5 : laquelle somme est effeclivement égale à 4/7, ou à ${\tfrac {a}{c}}$ . Je renverrai, pour la démonstration générale, à la note de M. Mondésir, qu’il se propose d’insérer dans le journal de M. Liouville.

La proposition est évidente quand on a ${a=b}$ ; car dans ce cas, pour une personne qui ne connaît pas les boules extraites de l’urne, il n’y a pas plus de raison de croire, après comme avant cette extraction, à l’arrivée d’une boule blanche qu’à

[p61-1] Après les $\mu$ tirages qui ont amené $m$ boules blanches et $n$ noires, la chance d’amener une blanche dans un nouveau tirage, dépend de ces nombres $m$ et $n$ , et est égale à ${\tfrac {a'}{c'}}$ . Mais pour une personne qui saurait seulement qu’on a tiré de l’urne un nombre $\mu$ de boules, et qui ignorerait la proportion des blanches et des noires qui en sont sorties, la probabilité de l’arrivée d’une boule blanche, dans un nouveau tirage, serait très différente de cette chance ${\tfrac {a'}{c'}}$ ; et d’après une note que vient de m’adresser M. Émile Mondésir, ancien élève de l’École Polytechnique, la probabilité dont il s’agit est indépendante des nombres $m$ et $n$ , et égale à, ${\tfrac {a}{c}}$ comme avant les tirages.
Pour vérifier cette proposition sur un exemple, supposons qu’on ait

$a=4$ , $b=3$ , $c=7$ , $\mu =2$ , $c'=5$ .

Relativement aux nombres $m$ et $n$ , il y aura trois cas possibles, mais inégalement probables, savoir ${m=2}$ et ${n=0}$ , ${m=1}$ et ${n=1}$ , ${m=0}$ et ${n=2}$ . Les probabilités de ces trois cas différents, déduites de l’expression de $\Pi$ , seront respectivement 2/7, 4/7, 1/7 ; dans ces mêmes cas, les chances de l’arrivée d’une blanche dans un tirage subséquent, auront pour valeurs 2/5, 3/5, 4/5 ; d’après les règles des n^os 5 et 10, la probabilité complète de l’extraction d’une boule blanche, sera donc la somme des produits de 2/7 et 2/5, 4/7 et 3/5, 1/7 et 4/5 : laquelle somme est effeclivement égale à 4/7, ou à ${\tfrac {a}{c}}$ . Je renverrai, pour la démonstration générale, à la note de M. Mondésir, qu’il se propose d’insérer dans le journal de M. Liouville.

La proposition est évidente quand on a ${a=b}$ ; car dans ce cas, pour une personne qui ne connaît pas les boules extraites de l’urne, il n’y a pas plus de raison de croire, après comme avant cette extraction, à l’arrivée d’une boule blanche qu’à

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