somme de numéros égale à . Soit, par exemple, , et conséquemment
Le développement de se composera de seize termes ; les coefficients des termes également éloignés des extrêmes, tels que et , et , … et , seront égaux ; la somme de tous les coefficients aura pour valeur celle de qui répond ou ; la somme des huit premiers coefficients , …, , sera égale à ainsi que la somme des huit derniers , … ; d’où l’on conclut qu’en projetant trois dés à la fois, la probabilité d’amener 10 ou un nombre moindre est , comme celle d’amener 11 ou un nombre plus grand ; en sorte qu’on peut parier à jeu égal, ou un contre un, que la somme des trois numéros qui arriveront passera ou ne passera pas le nombre dix. C’est sur ce résultat qu’est fondé le jeu qu’on appelle le passe-dix. Sans le secours d’aucun calcul, on s’assure aisément de l’égalité de chance de chacun des deux joueurs, en observant que chaque couple de faces opposées d’un même dé, porte les numéros dont la somme est sept, tels que un et six, deux et cinq, trois et quatre. Il s’ensuit alors, que quand les trois dés tombent sur le tapis, la somme des trois numéros supérieurs, jointe à celle des trois numéros inférieurs, forme toujours le nombre 21 ; par conséquent, si la première somme est au-dessus de dix, la seconde sera au-dessous et réciproquement. Les deux joueurs sont donc dans le même cas que si l’un pariait que ce sont les numéros supérieurs qui passeront dix, et l’autre que ce sont les numéros inférieurs. Or, il est évident que les chances de ces deux événements seront égales ; car quels que soient les trois numéros qui arriveront au-dessus et ceux qui arriveront au-dessous, l’événement contraire, c’est-à-dire l’arrivée de ceux-ci au-dessus et de ceux-là au-dessous, sera également possible. Mais pour connaître les chances des diverses valeurs de , depuis jusqu’à , il est nécessaire de recourir au développement de . On trouve, en l’effectuant
