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où l’on prendra l’unité pour le produit $1\,.{}2\,.{}3\ldots n_{1}$, quand $n_{1}$ sera zéro, et de même pour chacun des produits semblables.

Cela posé, soit $s$ la somme des numéros sortis dans les $\mu$ tirages, on aura

$s=n_{1}+2n_{2}+3n_{m}+\ldots +mn_{m}$.

Par conséquent, si $s$ est un nombre donné ; que l’on prenne successivement pour $n_{1},\,n_{2},\,n_{3},\ldots ,\,n_{m}$, tous les nombres entiers ou zéro qui satisfont à cette équation et dont la somme est égale à $\mu$ ; et que l’on désigne par $\mathrm {N'}$, $\mathrm {N''}$, $\mathrm {N'''}$, etc., les valeurs correspondantes de $\mathrm {N}$, et par $\mathrm {V}$ la somme de celles de $\mathrm {U}$, il en résultera

$\mathrm {V} ={\frac {1}{m^{\mu }}}(\mathrm {N'} +\mathrm {N''} +\mathrm {N'''} +{\text{etc.}})$,

pour la probabilité d’avoir, dans un nombre $\mu$ de tirages, une somme de numéros donnée et égale à $s$.

On calculera plus aisément la valeur de $\mathrm {V}$ en changeant dans $\theta$ les indéterminées $t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\ldots ,\,t_{m}$, dans les puissances $t,\,t^{2},\,t^{3}\ldots ,\,t^{m}$, d’une même quantité $t$ : si l’on désigne par $\mathrm {T}$ ce que $\theta$ deviendra, on aura

$\mathrm {T} =(t+t^{2}+t^{3}+\ldots +t^{m})^{\mu }$ ;

et il est aisé de voir que la somme ${\mathrm {N'} +\mathrm {N''} +\mathrm {N'''} +{\text{etc.}}}$ ne sera autre chose que le coefficient numérique de $t^{s}$ dans le développement de $\mathrm {T}$ ; par conséquent, si l’on représente ce coefficient par $\mathrm {M} _{s}$, il en résultera

$\mathrm {V} ={\frac {1}{m^{\mu }}}\mathrm {M} _{s}$.

Ce coefficient $\mathrm {M} _{s}$ dépendra des nombres donnés $\mu$, $m$, $s$, et s’obtiendra facilement dans chaque exemple.

Au lieu d’une seule urne A, on peut supposer qu’on ait un nombre $\mu$ d’urnes A₁, A₂, A₃,… A_$\mu$, dont chacune contienne $m$ boules numérotées 1, 2, 3,… $m$, et tirer en même temps une boule de chacune de ces urnes. On peut aussi remplacer ces urnes par un pareil nombre de dés : s’il s’agit de dés ordinaires, à six faces, portant les n^os 1, 2, 5, 4, 5, 6, ou aura ${m=6}$, et $\mathrm {V}$ exprimera la probabilité qu’en projetant simultanément un nombre $\mu$ de dés, on amènera une