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de celle de B, ou qui a une chance double de gagner chaque point, ne peut néanmoins parier, sans désavantage, de gagner quatre points avant que B en ait pris deux.

Si les deux joueurs conviennent de se retirer sans achever la partie, on verra plus loin que ce qui reviendra à A sera l’enjeu multiplié par la chance $\alpha$ de gagner, et à B le produit de l’enjeu et de la chance $\beta$, c’est-à-dire qu’ils devront partager l’enjeu proportionnellement aux fractions $\alpha$ et $\beta$.

(17). Au lieu de deux événements E et F, supposons qu’il y en a un plus grand nombre, trois, par exemple, que nous désignerons par E, F, G, et dont un seul devra arriver à chaque épreuve. Soient $p$, $q$, $r$, leurs probabilités constantes, et $\mu$ le nombre des épreuves. Par une extension facile de la méthode du n^o 14, on trouvera

${\frac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu \,{.}\,p^{m}q^{n}r^{o}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots m\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots o}}$,

pour la probabilité que le premier des événements E, F, G, arrivera $m$ fois, le second $n$ fois, le troisième $o$ fois. On aura, en même temps,

$p+q+r=1$,$m+n+o=\mu$ ;

et la probabilité dont il s’agit sera le terme général du développement du trinôme ${p+q+r}$ élevé à la puissance $\mu$.

Ce cas est celui d’une urne qui renfermerait des boules de trois couleurs différentes, dans les proportions marquées par les fractions $p$, $q$, $r$, et où les événements E, F, G, seraient les extractions de ces trois sortes de boules, en remettant à chaque fois dans l’urne la boule qui en est sortie.

En prenant dans le développement de ${(p+q+r)^{\mu }}$, la somme des termes qui renferment une puissance de $p$, égale ou supérieure à $m$, on aura la probabilité que E arrivera au moins un nombre $m$ de fois dans un nombre $\mu$ d’épreuves. Quel que soit le nombre des événements E, F, G, etc., parmi lesquels un seul arrivera à chaque épreuve, on peut aussi déduire immédiatement cette probabilité, de l’expression précédente de $\mathrm {P}$. En effet, représentons toujours par $p$, $q$, $r$, etc., les chances constantes de E, F, G, etc. ; à chaque épreuve, l’arrivée de l’un ou l’autre des événements E, F, G, etc., peut être considérée