Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/74

est un nombre pair, et l’un des deux qui répondent à ${m-n=\pm 1}$, quand $\mu$ est un nombre impair.

(15). Soit $\mathrm {P}$ la probabilité que E arrivera au moins $m$ fois dans le nombre $\mu$ d’épreuves. Cet événement composé pourra avoir lieu de ${n+1}$ manières différentes, savoir, lorsque E arrivera les nombres de fois $\mu ,\,{\mu -1},\,{\mu -2}$,… et enfin ${\mu -n}$ ou $m$ ; les probabilités relatives à ces ${n+1}$ manières se déduiront de l’expression précédente de $\Pi$, en mettant successivement $\mu$ et zéro, ${\mu -1}$ et 1, ${\mu -2}$ et 2,… jusqu’à $m$ et $n$, au lieu de ces deux derniers nombres ; d’après la règle du n^o 10, la valeur complète de $\mathrm {P}$ sera donc la somme de ces ${n+1}$ probabilités partielles ; et, par conséquent, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} =p^{\mu }+\mu p^{\mu -1}q{}+{}&{\tfrac {\mu \,{.}\,\mu -1}{1\,{.}\,2}}p^{\mu -2}q^{2}+\ldots \\&\ldots +{\tfrac {\mu \,{.}\,\mu -1\,{.}\,\mu -2\,\ldots \,\mu -n+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\,\ldots \,n}}p^{m}q^{n}\;;\end{aligned}}$

de sorte que $\mathrm {P}$ sera la somme des ${n+1}$ premiers termes du développement de ${(p+q)^{\mu }}$, ordonné suivant les puissances croissantes de $q$.

Pour ${m=0}$, ou ${n=\mu }$, on aura

$\mathrm {P} =(p+q)^{\mu }=1$ ;

ce qui doit être, en effet, puisqu’alors l’événement composé comprenant toutes les combinaisons de E et F qui peuvent arriver, sa probabilité $\mathrm {P}$ doit être la certitude. Pour ${m=1}$, cet événement est le contraire de l’arrivée de F à toutes les épreuves ; et, effectivement, la valeur de $\mathrm {P}$ est, dans ce cas, le développement entier de ${(p+q)^{\mu }}$, moins son dernier terme $q^{\mu }$ ; ce qui s’accorde avec la valeur de $r$ du n^o 8.

Si $\mu$ est un nombre impair ${2i+1}$, et si l’on demande la probabilité que E arrivera plus souvent que F, on la déduira de l’expression générale de $\mathrm {P}$, en y faisant ${m=i+1}$ et ${n=i}$. Si $\mu$ est un nombre pair $2i$, on obtiendra la probabilité que E arrivera au moins autant de fois que F, en faisant ${m=n=i}$, dans cette même expression.

(16). Ou déduit aussi de cette formule la solution du premier pro-