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de permutations dont ces $m$ lettres E sont susceptibles, et qui est

$1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots m$.

Si les $\mu -m$ ou $n$ autres lettres représentent aussi un même événement F, il faudra également diviser ce produit par le nombre de permutations de ces $n$ lettres F, ou par

$1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n$.

Par conséquent, le nombre de permutations distinctes que l’on peut faire avec $m$ événements E et $n$ événements F, c’est-à-dire la valeur de $\mathrm {K}$ qu’il s’agissait d’obtenir, sera

$\mathrm {K} ={\tfrac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\,\ldots \,\mu }{1\,{.}\,2\,{.}\,3\,\ldots \,m\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\,\ldots \,n}}$.

À cause de ${\mu =m+n}$, cette quantité $\mathrm {K}$ est symétrique par rapport à $m$ et à $n$ ; mais on peut aussi l’écrire sous ces deux autres formes :

${\begin{aligned}\mathrm {K} &={\tfrac {\mu \,{.}\,\mu -1\,{.}\,\mu -2\,\ldots \,\mu -m+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\,\ldots \,m}},\\\mathrm {K} &={\tfrac {\mu \,{.}\,\mu -1\,{.}\,\mu -2\,\ldots \,\mu -n+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\,\ldots \,n}},\end{aligned}}$

qui montrent que la probabilité $\Pi$, ou le produit ${\mathrm {K} p^{m}q^{n}}$, est le terme du rang ${m+1}$ dans le développement de ${(p+q)^{\mu }}$ ordonné suivant les puissances croissantes de $p$, ou le terme du rang ${n+1}$ dans ce développement ordonné suivant les puissances croissantes de $q$.

On conclut de là que dans le cas que nous examinons, où les chances $p$ et $q$ des deux événements contraires E et F sont constantes, celles de tous les événements composés qui peuvent arriver dans un nombre $\mu$ d’épreuves ont pour expressions, les différents termes de la formule du binome ${p+q}$ élevé à la puissance $\mu$.

Le nombre de ces événements est ${\mu +1}$. Ils sont inégalement probables, soit à cause de la multiplicité des combinaisons qui peut les amener et qui est exprimée, pour chacun d’eux, par le nombre $\mathrm {K}$, soit à raison de l’inégalité des chances $p$ et $q$. Dans le cas de ${p=q}$, l’événement le plus probable est celui qui répond à ${m=n}$, lorsque $\mu$