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Appelons toujours E et F les événements contraires, d’une nature quelconque, dont l’un des deux aura lieu à chaque épreuve. Supposons, en premier lieu, que leurs probabilités soient constantes et données ; et représentons, dans chaque épreuve, par $p$ la chance de E et par $q$ celle de F. Désignons aussi par $\mu$ le nombre total des épreuves, par $m$ le nombre de fois que E arrivera, par $n$ le nombre de fois que F aura lieu. Nous aurons

$p+q=1$,$m+n=\mu$.

La probabilité que ces $m$ et $n$ arrivées de E et F auront lieu dans un ordre déterminé, est indépendante de cet ordre particulier, et égale à $p^{m}q^{n}$ (n^o 7) ; par conséquent, si l’on appelle $\Pi$ la probabilité qu’elles auront lieu dans un ordre quelconque, et $\mathrm {K}$ le nombre de manières différentes, dont $m$ événements E et $n$ événements F peuvent se succéder dans un nombre $\mu$ d’épreuves, on aura, d’après la règle du n^o 10,

$\Pi =\mathrm {K} \,p^{m}q^{n}$.

Pour déterminer $\mathrm {K}$, je suppose d’abord que les $\mu$ événements qui doivent avoir lieu soient tous differents, et je les désigne par les lettres A, B, C, D, etc. Ce nombre $\mathrm {K}$ sera alors celui des permutations que l’on peut faire subir à $\mu$ lettres disposées comme les facteurs d’un produit ; or, il aura pour valeur

$1\,.{}2\,.{}3\ldots \mu -1\,.{}\mu$ ;

car si on le représente par $\mathrm {K'}$ pour ${\mu -1}$ lettres, et qu’on ajoute ensuite une lettre de plus, celle-ci pouvant occuper $\mu$ places distinctes dans chacune des permutations de ${\mu -1}$ lettres, il en résultera $\mu \mathrm {K'}$ pour le nombre de permutations de $\mu$ lettres ; et comme ce nombre est l’unité quand ${\mu =1}$, il s’ensuit qu’il sera successivement 1 . 2, 1 . 2 . 3, 1 . 2 . 3. 4, etc., pour ${\mu =2,\,=3,\,=4}$, etc. Maintenant, si un nombre $m$ des lettres A, B, C, D, etc., représentent un même événement E, celles de leurs permutations qui ne diffèrent que par les places de E seront aussi les mêmes ; ce qui réduira le nombre des permutations distinctes, au produit précédent, divisé par le nombre