Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/68

quantité qui se réduit à

$\varpi ={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {3i+2}{2i+1}}$.

Elle est l’unité, comme cela doit être, pour ${i=1}$ ; elle s’approche indéfiniment de ${\tfrac {3}{4}}$, en diminuant toujours, à mesure que $i$ augmente de plus en plus. Dans le cas de ${n=2i+2}$, on peut aussi faire ${i+1}$ hypothèses également possibles ; on peut supposer que A renferme ${2i+2}$ boules blanches, ${2i+1}$ boules blanches et une boule noire, …, ${i+2}$ boules blanches et $i$ boules noires. Il en résulte

$\varpi ={\tfrac {1}{i+1}}\left({\tfrac {2i+2}{2i+2}}+{\tfrac {2i+1}{2i+2}}+{\tfrac {2i}{2i+2}}+\ldots +{\tfrac {i+2}{2i+1}}\right)$ ;

ou, ce qui est la même chose,

$\varpi ={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {3i+4}{2i+2}}$.

pour la valeur complète de $\varpi$. Comme la précédente, elle est ${\varpi =1}$ et ${\varpi ={\tfrac {3}{4}}}$, pour les valeurs extrêmes ${i=0}$ et ${i=\infty }$. Pour tout autre nombre entier $i$, elle excède la précédente d’une fraction ${\tfrac {i}{4(i+1)(2i+1)}}$, dont le maximum est ${\tfrac {1}{24}}$ ; et répond à ${i=1}$.

Une urne A contenant un nombre total $c$ de boules, dont $a$ boules blanches, concevons que ces boules soient partagées dans son intérieur, en groupes tels que le premier renferme $c_{1}$ boules dont $a_{1}$ blanches, le deuxième $c_{2}$ boules dont $a_{2}$ blanches, etc., de sorte que l’on ait

${\begin{alignedat}{4}&c_{1}&{}+{}&c_{2}&{}+{}&c_{3}&{}+{}{\text{etc.}}{}={}&c,\\&a_{1}&{}+{}&a_{2}&{}+{}&a_{3}&{}+{}{\text{etc.}}{}={}&a.\end{alignedat}}$

Soit $p$ la probabilité d’extraire une boule blanche de cette urne ; elle devra être égale à ${\tfrac {a}{c}}$ ; ce qui fournira simplement une vérification de la règle du numéro précédent. Une boule blanche pourra sortir du premier groupe ; et pour cela, la chance sera le produit de la probabilité ${\tfrac {a}{c}}$ que la main se portera sur ce groupe, et de la chance ${\tfrac {a_{1}}{a}}$ qu’elle