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urnes ; la probabilité d’extraire de leur ensemble une boule blanche ne changera pas si l’on réunit les $i\mu$ boules qu’elles contiennent dans une seule urne B. En effet, elles y formeront des groupes disposés d’une manière quelconque, dont chacun contiendra les boules provenant d’une même urne C, et qui seront tous composés d’un même nombre $\mu$ de boules, ce qui suffit pour que la chance d’y porter la main soit la même pour tous ces groupes, et égale à ${\tfrac {1}{i}}$, comme quand chaque groupe était renfermé dans une urne C. La chance de tirer une boule blanche du groupe où la main se portera n’aura pas non plus changé ; par conséquent, la probabilité d’extraire une boule blanche sera la même pour l’urne B et pour le système des urnes C. Cette conclusion n’aurait plus lieu, si les nombres de boules que les urnes C renferment étaient inégaux ; quels qu’ils soient, la chance que la main se portera sur l’une des urnes sera la même, et égale à ${\tfrac {1}{i}}$ ; mais quand toutes les boules auront été réunies dans l’urne B, les groupes qu’elles y formeront contenant des nombres inégaux de boules, la chance que la main s’y portera ne sera pas égale pour tous ces groupes : elle est évidemment plus grande pour ceux qui seront formés d’un plus grand nombre de boules.

Cela posé, réduisons toutes les fractions ${\tfrac {a_{1}}{c_{1}}}$, ${\tfrac {a_{2}}{c_{2}}}$, ${\tfrac {a_{3}}{c_{3}}}$, etc., à un même dénominateur, que nous désignerons par $\mu$. Soient alors $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$, etc., leurs numérateurs, de sorte qu’on ait

${\tfrac {a_{1}}{c_{1}}}={\tfrac {\alpha _{1}}{\mu }}$,${\tfrac {a_{2}}{c_{2}}}={\tfrac {\alpha _{2}}{\mu }}$,${\tfrac {a_{3}}{c_{3}}}={\tfrac {\alpha _{3}}{\mu }}$, etc.

La chance d’extraire une boule blanche de chacune des urnes A, et par conséquent de l’ensemble de ces urnes, ne changera pas si l’on remplace chacun des nombres $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$ etc., de boules blanches ou noires, par le même nombre $\mu$, et les nombres $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, etc., de boules blanches, par $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$, etc. La probabilité de l’extraction d’une boule blanche ne changera pas non plus, si l’on réunit ensuite toutes ces boules dans une même urne C. Or, cette urne contenant alors un nombre total $i\mu$ de boules, parmi lesquelles il y aura un nombre ${\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+{\text{etc.}}}$ de boules blanches, cette probabilité sera