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l’exposant $n$ assez grand pour que la puissance ${(1-p)^{n}}$ tombe au-dessous d’une fraction donnée. C’est en cela que consiste la différence essentielle entre une chose absolument impossible et un événement E dont la chance $p$ est extrêmement petite : la chose impossible, n’arrivera jamais, et l’événement aussi peu probable qu’on voudra, arrivera toujours, très probablement, dans une série d’épreuves assez longtemps prolongée.

Par la formule du binôme, on a

$(1-p)^{n}=1+np+{\tfrac {n\,{.}\,n-1}{1{.}2}}p^{2}+{\tfrac {n\,{.}\,n-1\,{.}\,n-2}{1{.}2{.}3}}p^{3}+{\text{etc.}}$ ;

si $n$ est un très grand nombre, et qu’on remplace ${n-1}$, ${n-2}$, etc., par $n$, on aura, à très peu près,

$(1-p)^{n}=1+np+{\tfrac {n^{2}p^{2}}{1{.}2}}+{\tfrac {n^{3}p^{3}}{1{.}2{.}3}}+{\text{etc.}}$ ;

série qui est le développement de $e^{-np}$, en désignant par $e$ la base des logarithmes népériens ; il en résultera donc

$r=1-e^{-np}$,

pour la valeur approchée de $r$. Dans le cas de ${p={\tfrac {1}{n}}}$, cette valeur sera le rapport de ${e-1}$ à $e$. Par conséquent, si la chance d’un événement E est l’unité divisée par un très grand nombre $n$, il suffira d’un pareil nombre $n$ d’épreuves pour qu’il y ait une probabilité ${\tfrac {e\,-\,1}{e}}$, ou à peu près égale à 2/3, que E arrivera au moins une fois.

(9). Lorsque deux événements E et E₁, ne sont point indépendants, c’est-à-dire, lorsque l’arrivée de l’un influe sur la chance de l’autre, la probabilité de l’événement composé de E et E₁ est égale à un produit $pp_{1}$ dans lequel $p$ représente la probabilité de l’événement E qui doit arriver le premier, et $p_{1}$ exprime la probabilité que E étant d’abord arrivé, E₁ arrivera ensuite.

Ainsi, $a$ et $b$ désignant les nombres de boules blanches et de boules noires contenues dans une urne A, et $c$ leur somme ${a+b}$ ; si E est l’arrivée d’une boule blanche à une première épreuve, et E₁ celle d’une boule blanche à un second tirage, sans qu’on ait remis la boule sortie