Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/53

ches et trois noires, et qu’une urne B renferme trois boules blanches et deux noires ; de sorte que le rapport du nombre de cas favorables, à l’arrivée d’une boule blanche, au nombre total des cas également possibles, soit 4/7 pour A et 3/5 pour B. La seconde fraction excédant la première de 1/35, il y aura plus de raison de croire qu’une boule blanche sortira de B que de A. En effet, en réduisant ces deux fractions au même dénominateur, elles deviennent 20/35 et 21/35 ; or, d’après ce qu’on vient de prouver, la probabilité de l’arrivée d’une boule blanche sera la même pour A et pour une urne C qui contiendrait 35 boules, dont 20 blanches et 15 noires ; elle sera aussi la même pour B, et pour une urne D qui renfermerait 35 boules, dont 21 blanches et 14 noires ; mais ces urnes C et D contenant l’une et l’autre un même nombre de boules, et D renfermant plus de boules blanches que C, il y a évidemment plus de raison de croire que l’on extraira une boule blanche de D que de C ; donc aussi, l’arrivée d’une boule blanche est plus probable pour B que pour A ; ce qui achève de démontrer la proposition énoncée au commencement de ce numéro.

De cette mesure de la probabilité, il semble résulter que cette fraction doit toujours être une quantité commensurable ; mais si le nombre de tous les cas possibles et celui des cas favorables à un événement, sont infinis, la probabilité ou le rapport du second nombre au premier, pourra être une quantité incommensurable. Supposons, par exemple que $s$ soit l’étendue d’une surface plane, et $\sigma$ celle d’une portion déterminée de ce plan ; si l’on projette une pièce circulaire, dont le centre puisse également retomber sur tous les points de $s$, il est évident que la probabilité qu’il retombera sur un point de $\sigma$, sera le rapport de $\sigma$ à $s$, dont les grandeurs peuvent être incommensurables.

(3). Dans les deux parties de la démonstration précédente, on a pris pour exemple des nombres déterminés de boules ; mais il est aisé de voir que le raisonnement est général et indépendant de ces nombres particuliers. On a aussi supposé que l’événement dont on considérait la probabilité, était l’extraction d’une boule blanche, tirée d’une urne qui contient des boules blanches et des boules noires, de manière que le nombre de boules blanches représente celui des cas favorables à