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$\zeta _{i}={\frac {k\int _{\frac {1}{2}}^{1}u^{n-i}(1-u)^{i}du}{k\int _{\frac {1}{2}}^{1}u^{n-i}(1-u)^{i}du+(1-k)\int _{0}^{\frac {1}{2}}u^{n-i}(1-u)^{i}du}}$,

en supprimant le facteur constant ${\varphi u}$, qui serait commun à son numérateur et à son dénominateur.

Laplace n’ayant point eu égard à la probabilité $k$ de la culpabilité avant le jugement, il faut, pour faire coïncider cette formule avec la sienne, supposer que cette culpabilité ne soit ni plus ni moins probable que la non-culpabilité, et faire, en conséquence, ${k={\tfrac {1}{2}}}$, ce qui donne

$\zeta _{i}={\frac {\int _{\frac {1}{2}}^{1}u^{n-i}(1-u)^{i}du}{k\int _{0}^{1}u^{n-i}(1-u)^{i}du}}$.

On aurait donc aussi

$1-\zeta _{i}={\frac {\int _{0}^{\frac {1}{2}}u^{n-i}(1-u)^{i}du}{k\int _{0}^{1}u^{n-i}(1-u)^{i}du}}$.

ou bien, en effectuant les intégrations,

${\begin{aligned}1-\zeta _{i}={\frac {1}{2^{n+1}}}&\left(1+{\frac {n+1}{1}}+{\frac {n+1\,{.}\,n}{1\,{.}\,2}}+{\frac {n+1\,{.}\,n\,{.}\,n-1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}+\ldots \right.\\&\quad \left.\ldots +{\frac {n+1\,{.}\,n\,{.}\,n-1\ldots n-i+2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots i}}\right),\end{aligned}}$

(15)

pour la probabilité que l’accusé n’est pas coupable, lorsqu’il a été condamné à la majorité de ${n-2i}$ voix dans un jury de $n$ jurés.

Cette dernière formule est, en effet, celle de Laplace^[1]. La quantité comprise entre les parenthèses, se compose de ${i+1}$

1. Premier supplément à la Théorie analytique des probabilités, page 33.