Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/383

très peu différente de la certitude. Dans tous les cas, la somme des trois valeurs de $\mathrm {Y} _{i}$ qu’on vient de calculer est, comme cela doit être, égale à un.

(132). Lors même que le nombre $n$ des jurés est très grand, ou est donc obligé, d’après ce qui précède, de faire une hypothèse sur la fonction ${\varphi u}$, ou sur la loi de probabilité des chances de ne pas se tromper, pour pouvoir conclure la probabilité qu’un condamné est coupable, des nombres ${n-i}$ et $i$ des jurés qui ont voté pour ou contre lui. À plus forte raison, cela est-il nécessaire, dans le cas ordinaire, où le nombre $n$ n’est pas très considérable.

L’hypothèse que Laplace a faite pour cet objet, consiste à supposer que la fonction ${\varphi u}$ soit zéro pour toutes les valeurs de $u$ moindres que ${\tfrac {1}{2}}$ et qu’elle ait une même valeur pour toutes celles de $u$ qui surpassent ${\tfrac {1}{2}},$ ; ce qui revient à dire que toute chance de ne pas se tromper moindre que la chance de se tromper est regardée comme impossible, et que les chances de ne pas se tromper plus grandes que celles de se tromper sont toutes également probables. Elle est permise ; car on satisfait à la condition ${\textstyle \int _{0}^{1}\varphi udu=1}$, de la manière qu’on a expliquée précédemment (n^o 123) : la moyenne des valeurs possibles de $u$, ou ${\textstyle \int _{0}^{1}u\varphi udu}$, serait alors comprise entre ${\tfrac {1}{2}}$ et ${\tfrac {3}{4}}$, et dépendrait de la valeur de ${\varphi u}$, pour ${u>{\tfrac {1}{2}}}$.

Dans cette hypothèse, ${\varphi u}$ étant zéro pour ${u<{\tfrac {1}{2}}}$, et une quantité constante pour ${u>{\tfrac {1}{2}}}$, les limites des intégrales que renferme la formule (13) se réduiront à ${u=0}$ et ${u={\tfrac {1}{2}}}$ ; on pourra faire sortir ${\varphi u}$ hors des signes $\textstyle \int$ ; et comme on a

$\int _{\frac {1}{2}}^{1}u^{i}(1-u)^{n-i}du=\int _{0}^{\frac {1}{2}}u^{n-i}(1-u)^{i}du$,

cette formule deviendra