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${\begin{aligned}\int _{0}^{\alpha }\mathrm {U} _{i}\varphi udu&=\varphi \alpha {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{\pi n^{3}}}}\int _{0}^{\infty }\left(\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)d\theta ,\\\int _{\alpha }^{1}\mathrm {U} _{i}\varphi udu&=\int _{\alpha }^{1}\varphi udu-\varphi \alpha {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{\pi n^{3}}}}\int _{0}^{\infty }\left(\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)d\theta \;;\end{aligned}}$

et en ajoutant ces deux formules, il en résultera

$\int _{0}^{1}\mathrm {U} _{i}\varphi udu=\int _{\alpha }^{1}\varphi udu$.

En général, si l’on désigne par $a$ et $a_{\prime }$ deux valeurs de $u$ telles que l’on ait ${a<\alpha }$ et ${a_{\prime }>\alpha }$, et que l’on représente par $b$ et $b_{\prime }$ les valeurs positives de $\theta$ qui répondent à ${u=a}$ et ${u=a_{\prime }}$, on aura, au degré d’approximation où nous nous arrêtons,

${\begin{aligned}\int _{0}^{a}\mathrm {U} _{i}\varphi udu&=\varphi \alpha {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{\pi n^{3}}}}\int _{0}^{b}\left(\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)d\theta ,\\\int _{\alpha }^{a_{\prime }}\mathrm {U} _{i}\varphi udu&=\int _{\alpha }^{a_{\prime }}\varphi udu-\varphi \alpha {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{\pi n^{3}}}}\int _{0}^{b_{\prime }}\left(\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)d\theta .\end{aligned}}$

Par le procédé de l’intégration par partie, on a d’ailleurs

${\begin{aligned}\int _{0}^{b}\left(\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)d\theta &=b\int _{b}^{\infty }e^{-x^{2}}dx+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}e^{-b^{2}},\\\int _{0}^{b_{\prime }}\left(\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)d\theta &=b_{\prime }\int _{b}^{\infty }e^{-x^{2}}dx+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}e^{-b_{\prime }^{2}},\end{aligned}}$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}\int _{0}^{a}\mathrm {U} _{i}\varphi udu&=\varphi \alpha {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{\pi n^{3}}}}\left(b\int _{b}^{\infty }e^{-x^{2}}dx+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}e^{-b^{2}}\right),\\\int _{\alpha }^{a_{\prime }}\mathrm {U} _{i}\varphi udu&=\int _{\alpha }^{a_{\prime }}\varphi udu-\varphi \alpha {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{\pi n^{3}}}}\left(b_{\prime }\int _{b}^{\infty }e^{-x^{2}}dx+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}e^{-b_{\prime }^{2}}\right).\end{aligned}}$

Je mets actuellement $\mathrm {V} _{i}$ à la place de $\mathrm {U} _{i}$ dans les formules (11), et j’y change, en conséquence, $u$ en ${1-u}$ (n^o 118). La première aura lieu quand ${\tfrac {u}{1-u}}$ surpassera ${\tfrac {i}{n+1-i}}$, c’est-à-dire depuis ${u=1-\alpha }$, jusqu’à ${u=1}$, en prenant $n$ pour ${n+1}$, et faisant toujours $\alpha ={\tfrac {n-i}{n}}$. La seconde subsistera depuis ${u=0}$ jusqu’à ${u=1-\alpha }$. En représentant par $\theta '$ ce que devient \theta par le changement de $u$ en ${1-u}$, et continuant de négliger