![{\displaystyle u^{n-i}(1-u)^{i}={\frac {i^{i}(n-i)^{n-i}}{n^{n}}}e^{-\theta ^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b4d4ccd9e78b488b3332af3872a14d01d0f935e)
;
c’est-à-dire la même équation qu’on avait tout-à-l’heure entre
,
, et de laquelle on tirera
![{\displaystyle u=\alpha +\theta {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}-{\frac {2\theta ^{2}(n-2i)}{3n^{2}}}+{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c099ee189facc2fd8f07e05544ac742a3a76cf)
Mais
devant toujours être une quantité positive (no 121), ses valeurs seront
,
,
, pour
,
,
: la variable
croissant depuis
jusqu’à
, la variable
décroîtra depuis
jusqu’à
; et
croissant de nouveau depuis
jusqu’à
, cette même variable
croîtra depuis
jusqu’à
.
Cela posé, nous aurons, d’après les formules (11),
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\alpha }\mathrm {U} _{i}\varphi udu&={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{\infty }^{0}\left(\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)\varphi u{\frac {du}{d\theta }}d\theta \\&\qquad +{\frac {(n+i){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi ni(n-i)}}}}\int _{\infty }^{0}e^{-\theta ^{2}}\varphi u{\frac {du}{d\theta }}d\theta ,\\\int _{\alpha }^{1}\mathrm {U} _{i}\varphi udu&=\int _{\alpha }^{1}\varphi udu-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }\left(\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)\varphi u{\frac {du}{d\theta }}d\theta \\&\qquad +{\frac {(n+i){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi ni(n-i)}}}}\int _{0}^{\infty }e^{-\theta ^{2}}\varphi u{\frac {du}{d\theta }}d\theta .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd6e1f374fe4423677e35d370fd244c36d2d4e4)
On obtiendra, en séries convergentes, les valeurs de ces intégrales, simples et doubles, relatives à
, en substituant sous les signes
la série précédente à la place de
, son coefficient différentiel au lieu de
, et développant aussi
en série, ce qui suppose que cette fonction ne varie pas très rapidement de part ou d’autre de la valeur particulière
de
. Si l’on néglige les termes de l’ordre de petitesse de
, on fera simplement
![{\displaystyle u=\alpha +\theta {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0923aac29fb91cacb9600887e1e358b8803bc093)
,
![{\displaystyle {\frac {du}{d\theta }}={\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a4f4a2911657ee64f25b6e3749044b0cd18172)
,
![{\displaystyle {\varphi u=\varphi \alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f888ee52c877a5dd98dad0bc352c7ad3b286339)
.
Le radical
sera susceptible du double signe ± ; on prendra le signe supérieur dans les intégrales où la variable
est croissante, et le signe inférieur dans celle où elle est décroissante ; en changeant ensuite le signe de ces dernières, et intervertissant l’ordre de leurs limites, nous aurons