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que dans une étendue infiniment petite de part et d’autre de la valeur possible de $u$, et qu’elle décroît très rapidement près de cette valeur ; or, l’analyse du numéro précédent suppose essentiellement, comme on l’a vu, que ${\varphi u}$ ne varie point ainsi de part ou d’autre de la valeur ${\tfrac {n-i}{n}}$ de $u$ ; par conséquent l’expression de $\zeta _{i}$, déduite de cette analyse, n’est point applicable au cas auquel répond l’expression de $p_{i}$ du n^o 119. On peut d’ailleurs observer que celle-ci est comprise dans la formule (13). En effet, si l’on représente, en général, par $v$ la seule valeur possible de $u$, et par $\eta$ un infiniment petit positif ; et si l’on prend pour ${\varphi u}$ une fonction qui soit nulle pour toutes les valeurs de $u$, non comprises entre ${v\mp \eta }$, les limites des intégrales que contient la formule (13) se réduiront à ${v\mp \eta }$ ; dans leur étendue, les facteurs ${u^{n-i}(1-u)^{i}}$ et ${u^{i}(1-u)^{n-i}}$ seront constants ; en les faisant sortir hors des signes $\textstyle \int$, et supprimant ensuite l’intégrale ${\textstyle \int _{v-\eta }^{v+\eta }\varphi udu}$ qui se trouvera facteur commun au numérateur et au dénominateur de la formule (13), elle coïncidera avec la formule (7) appliquée à ${u=v}$.

Si les deux fractions ${\tfrac {n-i}{n}}$ et ${\tfrac {i}{n}}$ ne différaient pas sensiblement l’une de l’autre, et que l’on prît ${\varepsilon =\delta }$, les valeurs précédentes de $\lambda _{i}$ se rapporteraient aux mêmes limites de la chance $u$ ; mais leur valeur commune différerait des précédentes, et serait indépendante de $k$ et égale à ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\delta }^{\delta }e^{-x^{2}}dx}$, parce que, dans ce cas particulier, les deux intégrales contenues au numérateur de la formule (12) sont sensiblement égales, ainsi que celles qui se trouvent à son dénominateur.

(130). Pour déterminer les valeurs approchées des intégrales que renferment les formules (14), il faudra exprimer celles de $\mathrm {U} _{i}$ et $\mathrm {V} _{i}$ au moyen des formules (11).

La première de celles-ci ayant lieu quand ${\tfrac {1-u}{u}}$ surpasse ${\tfrac {i}{n+1-i}}$, et la seconde dans le cas contraire, il s’ensuit que la première subsistera depuis ${u=0}$ jusqu’à ${u=\alpha }$, et la seconde depuis ${u=\alpha }$ jusqu’à ${u=1}$, en prenant $n$ pour ${n+1}$ et faisant ${{\tfrac {n-i}{n}}=\alpha }$. D’après l’équation qui détermine la quantité $\theta$ contenue dans ces formules (11), on aura